Η εξίσωση για το δέσιμο των κορδονιών

Ποιος είναι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος (με το πιο κοντό κορδόνι), για να δέσουμε τα παπούτσια μας; Πώς μπορούμε να χωρέσουμε το μεγαλύτερο αριθμό μπουκαλιών σε ένα τετράγωνο κουτί; Και πώς υπολογίζουμε πότε πέφτει το Πάσχα; Ιδού τα μαθηματικά για τα μικρά ή τα μεγάλα προβλήματα της ζωής.

Πώς να κάνετε οικονομία στα κορδόνια

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι δεσίματος των παπουτσιών (βλ. σχέδιο πάνω): το αμερικανικό σύστημα με το ζικ ζακ, το δέσιμο μπότας και το γρήγορο δέσιμο... Ποιο, όμως, μας επιτρέπει να χρησιμοποιούμε το ελάχιστο μήκος κορδονιού;
Με τον Πυθαγόρα.
Για λόγους απλοποίησης, θα λάβουμε υπόψη μόνο τα «εναλλασσόμενα» δεσίματα, αυτά στα οποία το κορδόνι περνά από τη μια σειρά θηλιών στην άλλη. Η λύση μπορεί να υπολογιστεί με το πυθαγόρειο θεώρημα: το αποτέλεσμα είναι οι δύο εξισώσεις εδώ πάνω. Αν θεωρήσουμε ότι n=8 (τα ζευγάρια των θηλιών), d=1 (η απόσταση ανάμεσα στις θηλιές) και s=2 (χώρισμα ανάμεσα στις σειρές θηλιών), βρίσκουμε ότι νικά το αμερικανικό δέσιμο (με μήκος 37,8), ακολουθούμενο από το δέσιμο μπότας (40,3) και το γρήγορο δέσιμο (42,1).
Τρίγωνο.
Οι μαθηματικοί όμως προτιμούν να αναλύουν το πρόβλημα με πιο γενικευμένο τρόπο. Για παράδειγμα, σχεδιάζουν πολλές σειρές από θηλιές και στη συνέχεια φαντάζονται ότι κάνουν ένα δέσιμο με μια διαδρομή που ποτέ δε γυρνά πίσω (βλ. σχέδιο ψηλά). Με αυτόν τον τρόπο, το αμερικανικό δέσιμο σχηματίζει (αν απαλειφτεί ένα κάθετο κομμάτι στο κέντρο) ένα ισοσκελές τρίγωνο, που αντιστοιχεί στην πιο σύντομη διαδρομή, ενώ τα άλλα δεσίματα χαράσσουν πιο πολύπλοκα σχήματα (και πιο μακριά).
Κουίζ.
Αν εξαλείψουμε την προϋπόθεση ότι το δέσιμο πρέπει να είναι εναλλασσόμενο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ακόμα κοντύτερα κορδόνια; (Η λύση στο τέλος του άρθρου).

Κορόνα, κορόνα, κορόνα... και μετά;

Ρίχνουμε ένα κέρμα: κορόνα. Έπειτα το ξαναρίχνουμε: πάλι κορόνα. Και ούτω καθεξής, για 500 φορές. Σε αυτό το σημείο πρέπει να ποντάρουμε 100 ευρώ: τι είναι προτιμότερο να διαλέξουμε;
Ισοπαλία.
Από την άποψη του νόμου των πιθανοτήτων, είναι αδιάφορο: σε κάθε ρίξιμο, η πιθανότητα να έρθει κορόνα ή γράμματα είναι 50%, ανεξάρτητα από το τι ήρθε πριν... Όμως πώς είναι δυνατό; Η πιθανότητα της τάξης του 50% δε σημαίνει ότι κατά μέσο όρο πρέπει να έρθει κορόνα όσες φορές θα έρθει γράμματα; Άρα, λοιπόν, μετά από 500 φορές που ήρθε κορόνα, δεν πρέπει να έρθει γράμματα; Όχι, γιατί είναι αλήθεια ότι, κατά μέσο όρο, ο αριθμός των κορόνων και των γραμμάτων εξισώνεται μακροπρόθεσμα. Όμως είναι επίσης αλήθεια ότι, αν ορίσουμε εκ των προτέρων ένα συγκεκριμένο αριθμό ρίψεων (για παράδειγμα 1 εκατομμύριο), η πιθανότητα να προκύψει ισοπαλία μεταξύ κορόνων και γραμμάτων είναι πρακτικά μηδενική. Αν, αντίθετα, δεν ορίσουμε εκ των προτέρων τον αριθμό των ρίψεων, αργά ή γρήγορα θα έρθει η ισοπαλία. Όμως δεν είναι δυνατό να προβλέψουμε το πότε.
Ασυναγώνιστα ζάρια.
Αυτό δεν ισχύει για τα ζάρια: επαναλαμβάνοντας επ’ άπειρον τις ρίψεις, δεν είναι δεδομένο ότι θα προκύψει μια κατάσταση ισοπαλίας στις φορές που ήρθε κάθε όψη του ζαριού. Μπορεί να συμβεί, αλλά με πιθανότητα περίπου 0,35, δηλαδή 1 φορές στις 3, ένα αποτέλεσμα που το απέδειξε ο Πολωνός Στάνισλαβ Ούλαμ, ένας από τους δημιουργούς της βόμβας υδρογόνου.

Οι παγίδες της γλώσσας

Για τους οπαδούς της Λογικής, η γλώσσα που χρησιμοποιούμε καθημερινά είναι γεμάτη παγίδες, όπως οι εκφράσεις «αυτή η φράση είναι λανθασμένη» (είναι αδύνατο να οριστεί αν είναι σωστή ή λανθασμένη).
Εχέφρονες φράσεις;
Εξίσου ύπουλο είναι το «παράδοξο του Richard», από τον Γάλλο μαθηματικό Jules Richard (1862-1956), που αφορά προτάσεις όπως αυτήν: «ο μικρότερος αριθμός που στα ελληνικά δεν μπορεί να οριστεί με μια φράση που έχει λιγότερες από είκοσι λέξεις»: αυτή η φράση περιέχει 19 λέξεις, δηλαδή αναφέρεται σε έναν αριθμό που εξ ορισμού δεν μπορεί να ορίσει. Αυτό το παράδοξο, εξηγεί ο Ίαν Στιούαρτ, καθηγητής μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόργουικ (Αγγλία) και συγγραφέας του βιβλίου How to Cut a Cake: And Other Mathematical Conundrums (Πώς κόβεται μια τούρτα και άλλες μαθηματικές σπαζοκεφαλιές), μας εξηγεί ότι δεν είναι τόσο εύκολο να καθορίσουμε, με βάση τη μορφή μιας γλωσσολογικής δήλωσης, αν αυτή έχει μαθηματική σημασία.
Απροειδοποίητα.
Ένα άλλο παράδοξο, λιγότερο εκπαιδευτικό αλλά διασκεδαστικό; Ένας δάσκαλος λέει στους μαθητές του ότι μια ημέρα της επόμενης εβδομάδας θα βάλει απροειδοποίητο διαγώνισμα... Όμως, τότε, σκέφτονται οι μαθητές, το διαγώνισμα δεν μπορεί να γίνει την Παρασκευή (δε θα είναι έκπληξη) και μάλλον ούτε τη Δευτέρα. Έτσι λοιπόν το απροειδοποίητο διαγώνισμα παύει να είναι και τόσο απροειδοποίητο, αφού το χρονικό εύρος μέσα στο οποίο θα πραγματοποιηθεί περιορίζεται σε μόλις τρεις ημέρες (Τρίτη, Τετάρτη, Πέμπτη).

Προσοχή σε όποιον ανακατεύει πολύ καλά τα χαρτιά!

Το ανακάτεμα των χαρτιών σημαίνει ότι φέρνει (τουλάχιστον φαινομενικά) την αταξία εκεί όπου πριν υπήρχε η τάξη. Πώς όμως γίνεται το τέλειο ανακάτεμα; Μια τεχνική που χρησιμοποιείται είναι το «riffle»: χωρίζεται η τράπουλα στα δύο και εισάγονται τα αντίστοιχα χαρτιά το ένα μετά το άλλο, με εναλλασσόμενο τρόπο. Έχει αποτέλεσμα, γιατί προϋποθέτει ότι το ανακάτεμα είναι καλό αλλά όχι τέλειο, διαφορετικά η αταξία που προκλήθηκε στην τράπουλα θα ήταν μόνο φαινομενική.
Στο σημείο εκκίνησης.
Αν το riffle χρησιμοποιηθεί με τέλειο τρόπο, τα χαρτιά επιστρέφουν στην αρχική τάξη ακόμα και μετά από το ανακάτεμα. Ας πάρουμε για παράδειγμα μια τράπουλα με 10 χαρτιά, τα οποία αριθμούμε 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, όπως στο σχήμα εδώ κάτω. Τώρα τη χωρίζουμε στα δύο και ανακατεύουμε: προκύπτει η ακολουθία 5, 0, 6, 1, 7, 2, 8, 3, 9, 4. Συνεχίζοντας έτσι, μετά από 10 ανακατέματα επιστρέφουμε στο σημείο εκκίνησης.
Πολύπλοκοι κύκλοι.
Όμως το γεγονός ότι με 10 χαρτιά επιστρέφουμε στο σημείο εκκίνησης μετά από ακριβώς 10 ανακατέματα είναι μια περίπτωση. Αν τα χαρτιά ήταν 6, 8 ή 14, θα χρειάζονταν αντίστοιχα 3, 6 και 4 ανακατέματα. Η περιγραφή των κύκλων κίνησης των χαρτιών με βάση τα διάφορα ανακατέματα είναι μια πολύπλοκη εργασία, που απαιτεί τη χρήση της σύγχρονης «θεωρίας αριθμών». Οι ταχυδακτυλουργοί γνωρίζουν αυτά τα κόλπα και συχνά τα χρησιμοποιούν, για να καταπλήξουν το κοινό (και άλλες φορές απλώς προσποιούνται ότι ανακατεύουν τα χαρτιά).

Ο αλγόριθμος του Πάσχα

Η Σύνοδος της Νίκαιας το 325 μ.Χ. όρισε τον τρόπο που καθορίζεται το Πάσχα: η πρώτη Κυριακή μετά (και όχι κατά τη διάρκεια) την πανσέληνο που ακολουθεί την εαρινή ισημερία. Ορίστηκε επίσης ότι η ισημερία θα πέφτει συμβατικά στις 21 Μαρτίου, ανεξάρτητα από την ημερομηνία της αστρονομικής ισημερίας (την ημερομηνία κατά την οποία η διάρκεια της ημέρας είναι ίση με αυτήν της νύχτας).
Λαθάκι.
Το Πάσχα, με αυτό τον ορισμό, έγινε ένα πρόβλημα υπολογισμού (που στη συνέχεια άλλαξε με την καθιέρωση του γρηγοριανού ημερολόγιου το 1582), για το οποίο ενδιαφέρθηκε ακόμα και ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους (1777-1855), που θεωρείται από πολλούς ο μεγαλύτερος μαθηματικός που υπήρξε ποτέ. «Δυστυχώς, η μέθοδός του περιείχε ένα μικρό λάθος, καθώς προβλέπει ότι τη χρονιά 4200 το Πάσχα θα πέσει στις 13 Απριλίου, αντί για την ακριβή ημερομηνία του στις 20 Απριλίου», λέει ο Ίαν Στιούαρτ. «Ο Γκάους το άλλαξε χειρόγραφα πάνω στο αντίτυπό του με το δημοσιευμένο άρθρο».
Δημοσίευση.
Το 1876, ένας ανώνυμος Αμερικανός δημοσίευσε στο περιοδικό Nature μια σωστή διαδικασία, που στη συνέχεια τροποποιήθηκε από τον Τόμας Ο’Μπέιρν και δημοσιεύτηκε σε δύο εκδοχές το 1965. Ιδού πώς λειτουργεί μια από αυτές.

Η σωστή ημερομηνία σε 10 κινήσεις
Πότε θα πέσει το Πάσχα της χρονιάς x;
1. Διαιρούμε το x με το 19. Προκύπτει ένα πηλίκο και ένα υπόλοιπο Α.
2. Διαιρούμε το x με το 100. Προκύπτει ένα πηλίκο Β και ένα υπόλοιπο Γ.
3. Διαιρούμε το Β με το 4. Προκύπτει ένα πηλίκο Δ και ένα υπόλοιπο Ε.
4. Διαιρούμε το 8Β+13 με το 25. Προκύπτει ένα πηλίκο Ζ.
5. Διαιρούμε το 19Α+Β-Δ-Ζ+15 με το 30. Προκύπτει ένα υπόλοιπο Η.
6. Διαιρούμε το Α+11Η με το 319. Προκύπτει ένα πηλίκο Μ.
7. Διαιρούμε το Γ με το 4. Προκύπτει ένα πηλίκο Θ και ένα υπόλοιπο Κ.
8. Διαιρούμε το 2Ε+2Θ-K-H+M+32 με το 7. Προκύπτει ένα υπόλοιπο Λ.
9. Διαιρούμε το Η-Μ+Λ+90 με το 25. Προκύπτει ένα πηλίκο Ν.
10. Διαιρούμε το Η-Μ+Λ+Ν+19 με το 32. Προκύπτει ένα υπόλοιπο P.
Το Πάσχα είναι η ημέρα P του μήνα N.
Εξήγηση.
Το Α είναι ένας αριθμός για τον υπολογισμό των δίσεκτων ετών, που επαναλαμβάνονται σε έναν κύκλο 19 ετών (σε γενικές γραμμές). Το Β και το Δ είναι διορθώσεις που οφείλονται στο γρηγοριανό ημερολόγιο (οι χρονιές που είναι πολλαπλάσιες του 100 δεν είναι δίσεκτες, με εξαίρεση όσες είναι πολλαπλάσιες του 400). Το Ζ είναι μια διόρθωση που ονομάζεται «επακτή», που οφείλεται στην ασυμφωνία ανάμεσα στους σεληνιακούς κύκλους και το ηλιακό έτος. Το Η συνδέεται επίσης με την επακτή. Το Μ είναι μια εξαιρετική περίπτωση της επακτής (συνήθως Μ=0).
Ένα παράδειγμα.
Αν θεωρήσουμε το έτος 2077, προκύπτει Α=6, Β=20, Γ=77, Δ=5, E=0, Ζ=6, H=18, M=18, Θ=19, K=1, Λ=2, N=4, P=11. Δηλαδή το Πάσχα θα πέσει στις 11 Απριλίου.
...Και το έτος 1.000.000;
Η απάντηση είναι: στις 16 Απριλίου.

Η επιστήμη της συσκευασίας

Ποιες είναι οι μικρότερες διαστάσεις ενός τετράγωνου κουτιού που μπορεί να χωρέσει 49 μπουκάλια; Η ερώτηση δεν είναι κοινότυπη: αυτό είναι το πεδίο έρευνας της «συνδυαστικής γεωμετρίας», ενός κλάδου των μαθηματικών.
Στο μπιλιάρδο.
Σε κάποιες περιπτώσεις είναι απλό να βρούμε την καλύτερη συσκευασία. Για παράδειγμα, για να βάλουμε 4 μπουκάλια με διάμετρο που ισούται με 1, αρκεί να τα βάλουμε σε ένα κουτί με πλευρά 2 (βλ. σχέδιο δεξιά). Το ίδιο ισχύει για σχεδόν όλες τις περιπτώσεις στις οποίες έχουμε να κάνουμε με λίγα μπουκάλια (3x3, 4x4 και 5x5). Αν όμως διαθέταμε έναν τεράστιο αριθμό μπουκαλιών, για να τα συσκευάσουμε με τον πιο συμπαγή τρόπο, θα έπρεπε να τα διατάξουμε με τριγωνικό τρόπο, όπως κάνουμε με τις μπάλες του μπιλιάρδου στην αρχή κάθε παρτίδας.
Καλύτερη η μετατόπιση.
Αν, όμως, τα μπουκάλια που πρέπει να τακτοποιήσουμε είναι 36 (6x6) ή 49 (7x7) ή 64 (8x8); Στην πρώτη περίπτωση, ο πιο συμπαγής σχηματισμός είναι ο τετράγωνος. Ξεκινώντας, όμως, από τα 49 μπουκάλια τα πράγματα αλλάζουν: τα μπουκάλια μπορούν να μετατοπιστούν ελαφρά, για να καταλαμβάνουν λιγότερο χώρο.
Τριγωνικό.
Τέλος, όσα περισσότερα είναι τα μπουκάλια, τόσο περισσότερο ο πιο συμπαγής σχηματισμός τους μοιάζει με τη διάταξη των μπαλών του μπιλιάρδου.

Γιατί μπερδεύεται συνέχεια του καλώδιο του τηλεφώνου;

Από επιστημονική άποψη, το φαινόμενο ονομάζεται «υπερσπείρωση». «Όταν χτυπά το τηλέφωνο», εξηγεί ο μαθηματικός Ίαν Στιούαρτ, «το παίρνω με το δεξί χέρι και το περιστρέφω». Για να μιλήσω κάμποσο, το μεταφέρω στο αριστερό χέρι, γεγονός που επιφέρει επιπλέον περιστροφή. Όταν ολοκληρωθεί η συνομιλία, το κλείνω με το αριστερό χέρι, επιφέροντας στο καλώδιο μια τελική περιστροφή. Γι’ αυτό, κάθε φορά που χρησιμοποιώ το τηλέφωνο, περιστρέφω το καλώδιο κατά 360ο, πάντα στην ίδια κατεύθυνση». Το κρίσιμο σημείο είναι η μεταφορά από το ένα χέρι στο άλλο, μαζί με την περιστροφή του ακουστικού πάντα στην ίδια φορά.
Όπως το DNA.
Το ίδιο φαινόμενο της υπερσπείρωσης παρατηρείται σε πολλές άλλες περιπτώσεις, εξηγεί ο Στιούαρτ, για παράδειγμα με τα λάστιχα, τα υποβρύχια καλώδια των τηλεπικοινωνιών, ακόμα και το DNA (βλ. φωτό δεξιά). Το ανθρώπινο γονιδίωμα, αν μπορούσε να ξεδιπλωθεί ολοκληρωτικά, θα είχε μήκος περίπου 1 μέτρο. Αντίθετα, είναι κουβαριασμένο στο εσωτερικό των κυττάρων, σε ένα χώρο ελάχιστων χιλιοστών του χιλιοστού.

Ένας γρίφος με 43 πεντάκις εκατομμύρια πιθανότητες

Κάποιοι διασκεδάζουν προσπαθώντας να τον λύσουν με το ένα χέρι, άλλοι με τα μάτια δεμένα. Ο Ολλανδός Έρικ Άκερσντικ κατάφερε να το κάνει σε μόλις 7,08 δευτερόλεπτα, ενώ ο Άντριου Κανγκ φαίνεται πως έλυσε 3.500 σε 20 ώρες.
Θεϊκός.
Ο κύβος του Ρούμπικ, τον οποίο εφηύρε ο Ούγγρος Έρνο Ρούμπικ το 1974 (μέχρι σήμερα έχουν πουληθεί πάνω από 300 εκατομμύρια κομμάτια σε όλο τον κόσμο), δεν έχει πια μυστικά για τους πιο παθιασμένους οπαδούς του, όμως παραμένει γρίφος για τους μαθηματικούς. Πράγματι, κανείς δεν ξέρει ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός κινήσεων, που έχει πάρει το παρατσούκλι «αριθμός του Θεού», για να λυθεί ξεκινώντας από έναν τέλεια ακατάστατο σχηματισμό.
Στον Η/Υ.
Για τους μαθηματικούς το πρόβλημα είναι ότι υπάρχουν ακριβώς 43.252.003.274.489.856.000 (περίπου 43 πεντάκις εκατομμύρια) διαφορετικοί σχηματισμοί, καθώς ποικίλλουν οι κινήσεις. Πρόσφατα ο Αμερικανός μαθηματικός Τόμας Ροκίκι κατάφερε να απλοποιήσει το πρόβλημα χάρη στις συμμετρίες του κύβου και, με τη βοήθεια ισχυρών υπολογιστών της Sony Pictures Imageworks, κατάφερε να αποδείξει ότι ο αριθμός του Θεού θα μπορούσε να είναι το πολύ το 23. Υπάρχει η υποψία ότι αυτός ο αριθμός είναι μόλις το 20, όμως για να αποδειχτεί με τις ίδιες μεθόδους, θα χρειάζονταν πιο ισχυροί υπολογιστές από τους τωρινούς.

Η λύση των κορδονιών

Στην αρχή του άρθρου λάβαμε υπόψη μόνο τα πιο κοινά δεσίματα, αυτά στα οποία το κορδόνι περνά από τη μια πλευρά των θηλιών στην άλλη.
Πιο κοντά.
Αν όμως εξαλείψουμε αυτή την προϋπόθεση, υπάρχουν δεσίματα που χρησιμοποιούν κορδόνια μικρότερου μήκους, όπως δείχνουν τα παραδείγματα δεξιά: και τα δύο ισχύουν αν ο αριθμός των ζευγαριών των θηλιών είναι ζυγός (2, 4, 6, 8...). Επιτρέπουν εξοικονόμηση κορδονιού κατά 15% περίπου σε σύγκριση με το αμερικανικό σύστημα (το μήκος του κορδονιού που χρησιμοποιήθηκε είναι το ίδιο και στις δύο περιπτώσεις).

Από  Περιoδικό Focus

Posted in: επιστήμη, Μαθηματικά