Παγκόσμια ημέρα της σταθεράς π

Η Παγκόσμια Ημέρα της Σταθεράς π απευθύνεται αποκλειστικά σε μαθηματικούς και γιορτάζεται κάθε χρόνο στις 14 Μαρτίου, εξαιτίας κάποιων αριθμητικών συμπτώσεων που συμβαίνουν την ημέρα αυτή. Στην Αμερική, η 14/3 γράφεται ως 3-14, δηλαδή η τιμή της σταθεράς (Π=3,14).
Η Ημέρα γιορτάζεται με πάρτι σε πολλές μαθηματικές σχολές του κόσμου, ακριβώς στη 1:59 μετά το μεσημέρι, καθώς το 1,5,9 είναι οι τρεις αριθμοί που ακολουθούν τη σταθερά 3,14 η οποία στην επταψήφια εκδοχή της είναι Π=3,14159.

Πηγη

Περισσοτερα...

Πόσα διαφορετικά tweets μπορούν να υπάρξουν μαθηματικά;

Όλοι γνωρίζουμε ότι υπάρχει ένα όριο 140 χαρακτήρων στα tweets που στέλνουμε στο δημοφιλές κοινωνικό δίκτυο Twitter και εύλογα γεννάται η απορία του πόσα διαφορετικά tweets είναι εφικτό να υπάρξουν. Πρακτικά, αμέτρητα αλλά χρησιμοποιώντας μαθηματικά μπορούμε να έχουμε μια πολύ καλή προσέγγιση:

Λαμβάνοντας υπόψιν, λοιπόν, το όριο των 140 χαρακτήρων και την ύπαρξη 26 γραμμάτων στην αγγλική αλφάβητο (27 αν μετρήσουμε και το κενό) υπάρχουν 27140≈10200 πιθανοί συνδυασμoί. Επειδή, βέβαια, το Twitter δεν σε περιορίζει σε αυτούς τους χαρακτήρες αλλά υποστηρίζει και το Unicode ο πιθανός αριθμός διαφορετικών συνδυασμών ανεβαίνει στο 10800. Όλα ωραία μέχρι εδώ αλλά αυτός ο αριθμός μας δίνει έναν συνδυασμό γραμμάτων που δεν δημιουργούν απαραίτητα λέξεις και προτάσεις με νόημα!

Ο Claude Shannon καθόρισε ότι το περιεχόμενο πληροφοριών της καθομιλουμένης στα Αγγλικά είναι περίπου 1.0 με 1.2 bits ανά γράμμα. Αυτό σημαίνει ότι ένας καλός αλγόριθμος μπορεί να συμπιέσει κείμενο ASCII στα Αγγλικά που είναι 8 bits ανά γράμμα σε περίπου το ένα όγδοο του αρχικού μεγέθους. Οπότε εάν ένα κομμάτι κειμένου περιέχει χ bits πληροφοριών, τότε υπάρχουν 2χ διαφορετικά μηνύματα που μπορεί να μεταφέρει. Με λίγη μαθηματική μαγεία συμπεραίνουμε ότι υπάρχουν χοντρικά 2140×1.1≈2×1046 διαφορετικοί συνδυασμοί αγγλικών προτάσεων σε tweets. Αυτό θα απαιτούσε περίπου 1047 δευτερόλεπτα για να διαβαστούν όλα τα tweets!

Πηγη

Περισσοτερα...

Ο Ντόναλντ Ντακ στην χωρα των μαθηματικών

Πολύ ενδιαφέρον βίντεο με πρωταγωνιστή το Ντόναλντ ο οποιος μαθαινει για τον κόσμο των μαθηματικών. Άκρως ενδιαφέρον και παιδαγωγικό... Λίγο μεγάλο και στα αγγλικά αλλά πραγματικά αξίζει

Περισσοτερα...

O μεγαλύτερος πρώτος αριθμός

Αποτελείται από 17.425.170 ψηφία!

Ανακαλύφθηκε ένας πρώτος αριθμός με περισσότερα από 17 εκατομμύρια ψηφία

Αμερικανός μαθηματικός ανακάλυψε έναν νέο πρώτο αριθμό που αποτελείται από 17.425.170 ψηφία και είναι ο μεγαλύτερος πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε αυτή τη στιγμή. Ο νέος βασιλιάς των πρώτων αριθμών πήρε τα σκήπτρα από έναν πρώτο αριθμό που ανακαλύφθηκε το 2008 και αποτελείται από 12.978.189 ψηφία. Το 2009 ανακαλύφθηκε άλλος ένας πρώτος αριθμός που όμως ήταν μικρότερος από εκείνον του 2008.

Οι πρώτοι

Ως πρώτος αριθμός ορίζεται ένας φυσικός αριθμός μεγαλύτερος της μονάδας, του οποίου οι μοναδικοί φυσικοί διαιρέτες είναι η μονάδα και ο εαυτός του. Οι πρώτοι αριθμοί αποτελούν ένα τομέα των μαθηματικών που οι επιστήμονες μελετούν και ερευνούν διαχρονικά. Αν και οι πρώτοι αριθμοί έχουν άπειρο πλήθος εντούτοις δεν έχει αναπτυχθεί μια μέθοδος που να υποδεικνύει με εύκολο τρόπο τους αριθμούς αυτούς. Η ανακάλυψή τους απαιτεί εντατικούς υπολογισμούς και τα τελευταία χρόνια η χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών έχει βοηθήσει τα μέγιστα στην εύρεση νέων πρώτων αριθμών.

Το πρόγραμμα

Πριν από μερικά χρόνια δημιουργήθηκε το πρόγραμμα GIMPS στο οποίο χιλιάδες εθελοντές προσφέρουν την ισχύ των υπολογιστών τους δημιουργώντας ένα πανίσχυρο δίκτυο που ασχολείται αποκλειστικά με τον υπολογισμό πρώτων αριθμών.

Ο Κρίς Κούπερ, μαθηματικός του Πανεπιστημίου Κεντρικού Μιζούρι, είναι μέλος του GIMPS και έχει ανακαλύψει και στο παρελθόν πρώτους αριθμούς. Αυτή τη φορά όμως έσπασε κυριολεκτικά τα κοντέρ αφού ο 2^57,885,161 − 1 είναι ένα «τέρας» 17.425.170 ψηφίων. Είναι ενδεικτικό ότι για την πρώτη επαλήθευση του αριθμού που ανακάλυψε ο Κούπερ χρησιμοποιήθηκε ο υπολογιστής ενός πανεπιστημίου που χρειάστηκε 39 μέρες για ολοκληρώσει την επεξεργασία των δεδομένων. Στη συνέχεια η ανακάλυψη επαληθεύτηκε και από άλλους ερευνητές.

Πρέπει να σημειωθεί ότι ο αριθμός του Κούπερ ανήκει σε μια ειδική κατηγορία των πρώτων αριθμών, τους αριθμούς Μερσέν. Είναι οι πρώτοι αριθμοί που έχουν τη μορφή 2ⁿ − 1, όπου ο p είναι πρώτος αριθμός. Ο Κούπερ θα λάβει τρεις χιλιάδες δολάρια από το GIMPS για την ανακάλυψή του. Η οργάνωση Electronic Frontier Foundation έχει θεσπίσει δύο σημαντικά χρηματικά βραβεία (150.000 και 250.000 δολαρίων) για την ανακάλυψη των πρώτων πρώτων αριθμών με πάνω από  100 εκατομμύρια ψηφία και πάνω από 1 δισεκατομμύριο ψηφία αντίστχοιχα.

Πηγη

Περισσοτερα...

Aλγόριθμος προβλέπει αν μια ταινία θα γίνει επιτυχία

Ερευνητές του Tottori University ανέπτυξαν ένα νέο αλγόριθμο που μπορεί να προβλέψει με μεγάλη ακρίβεια αν μια ταινία θα γίνει κινηματογραφική επιτυχία. Κάνοντας χρήση μαθηματικής εξίσωσης με μεταβλητές όπως διαφήμιση, προώθηση από στόμα σε στόμα (το λεγόμενο word of mouth) και γενικός ντόρος που έχει δημιουργηθεί, ο αλγόριθμος προβλέπει αν η ταινία θα σπάσει ταμεία ή όχι.

O καθηγητής Akira Ishii ισχυρίζεται ότι για την ώρα ο αλγόριθμος δουλεύει εξαιρετικά καλά και εξηγεί λεπτομέρειες για τη λειτουργία του:



Πηγη

Περισσοτερα...

Σας αρέσουν τα μαθηματικά; Οφείλεται στα κίνητρα σας κι όχι στο IQ

Οι μαθητές που καθοδηγούνται από τις  δικές τους επιδιώξεις βελτιώνουν περισσότερο τις μαθηματικές δεξιότητες τους, παρά από το IQ που έχουν ή από εξωτερικούς παράγοντες, όπως είναι η πίεση των γονέων ή οι βαθμοί που παίρνουν. Παράγοντες που δεν τους δημιουργούν μια διαρκή ώθηση. 

 

Έτσι λοιπόν τα κίνητρα και η σωστή στρατηγική στις σπουδές, δίνουν ανάπτυξη στις μαθηματικές ικανότητές κι όχι το IQ, σύμφωνα με μια νέα αμερικανική μελέτη.

Αλλά εδώ υπάρχει και μια παγίδα: Τα ευρήματα, που δημοσιεύονται στο περιοδικό Child Development, δείχνουν ότι αν βάλουμε με τη βία τα παιδιά να κρατάνε μπροστά τους τα βιβλία των μαθηματικών, κατά πάσα πιθανότητα δεν θα τα βοηθήσει.

Η ανάλυση που έγινε σε πάνω από 3.500 παιδιά στην Γερμανία ανακάλυψε ότι όσοι ξεκίνησαν με σταθερό τρόπο στην 5η τάξη του Δημοτικού, θα μπορούσαν οι βαθμοί τους να φτάσουν πάνω από το Καλώς στην Β! Γυμνασίου, αν οι μαθητές είχαν αρκετά κίνητρα και αποτελεσματική στρατηγική στο διάβασμα τους, ανέφερε ο επικεφαλής της έρευνας Kou Murayama, ερευνητής ψυχολογίας στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνια στο Λος Άντζελες.

"Η ανάπτυξη στις μαθηματικές ικανότητες είχε προβλεφθεί από τα κίνητρα και τις στρατηγικές μάθησης," αναφέρει η ερευνήτρια Kou Murayama. "Δεδομένου ότι το IQ δεν έδειξε αυτό το αποτέλεσμα, θεωρούμε ότι τούτο το εύρημα είναι εντυπωσιακό."

Μαθηματικά στον εγκέφαλο

Είναι γνωστό ότι είναι αμφιλεγόμενο ζήτημα το αν υπάρχει μια έμφυτη δεξιότητα στα μαθηματικά. Μερικές μελέτες δείχνουν ότι οι δεξιότητες στα μαθηματικά εμφανίζονται στα μωρά, ενώ άλλες δείχνουν ότι ο πολιτισμός παίζει τεράστιο ρόλο στη διαμόρφωση αυτών των δεξιοτήτων.

Για παράδειγμα, οι άνδρες υπερτερούν των γυναικών στα τυποποιημένα τεστ των  μαθηματικών. Όμως, οι διαφορές αυτές μπορεί να οφείλονται στο άγχος στα μαθηματικά, ή σε πολιτιστικές επιρροές, έχουν δείξει άλλες μελέτες.

Και σε δημοσκοπήσεις, οι άνθρωποι στις χώρες της Ανατολής συχνά υποστηρίζουν ως το πιο σημαντικό στοιχείο για την ικανότητα στα μαθηματικά την προσπάθεια, ενώ οι Δυτικοί λένε συνήθως ότι η ικανότητα στα μαθηματικά είναι έμφυτη.

Σημαντικές βελτιώσεις

Για να μάθουν ποιός παράγοντας ήταν ο πιο σημαντικός, η ομάδα του Murayama παρακολούθησε, περίπου, 3.500 παιδιά από τη Βαυαρία, κάνοντας τους ένα τεστ IQ και μια εκτίμηση των αλγεβρικών και γεωμετρικών τους ικανοτήτων από την 5η τάξη του Δημοτικού έως την Α! Λυκείου.

Μέτρησαν, επίσης, τα εσωτερικά τους κίνητρα για να εργαστούν στα μαθηματικά, ζητώντας τους να βαθμολογήσουν σε μια κλίμακα από 1 έως 5, αν είχαν κάνει αρκετή προσπάθεια στα μαθηματικά, επειδή τους ενδιαφέρει το μάθημα. Επίσης, αυτοί έπρεπε να αναφέρουν αν το κίνητρο τους οφειλόταν σε εξωτερικούς παράγοντες, όπως να πάρουν καλούς βαθμούς.

Οι λαοί της Ανατολής είναι πολύ αυστηροί με τα παιδιά τους, γεγονός που τα οδηγεί στην κατάθλιψη, στο στρες και στην

Η έρευνα τους ζητούσε να πουν αν στηρίζονταν σε μια μηχανική αποστήθιση του μαθήματος ή σε μια στρατηγική "βαθιάς μάθησης" των μαθηματικών, η οποία να τους είχε συνδέσει τα μαθηματικά με άλλους τομείς της ζωής τους.

Δεν αποτελεί έκπληξη, κατά την έναρξη της μελέτης, ότι τα παιδιά με υψηλό δείκτη νοημοσύνης είχαν την καλύτερη επίδοση στα μαθηματικά.

 

Όμως αργότερα τα απαθή παιδιά με υψηλό IQ δεν είχαν την πρόοδο που είχαν τα παιδιά με σωστή στρατηγική μάθησης.

Δυστυχώς, αναγκάζοντας τα παιδιά να ξενυχτάνε μπροστά από τα βιβλία τους δεν θα δημιουργήσουμε παιδιά-θαύματα στα μαθηματικά. Εξωτερικοί παράγοντες όπως η πίεση των γονέων ή οι βαθμοί, δεν δημιουργούν μια διαρκή άνοδο στις μαθηματικές ικανότητες.

“Δεν είναι αυτή η μέθοδος καλή ιδέα για να αναγκάσουμε τους μαθητές να μάθουν μαθηματικά," δηλώνουν οι ερευνητές.

Αντιθέτως , τα παιδιά που οδηγήθηκαν από το δικό τους ενδιαφέρον βελτιώθηκαν περισσότερο. Έτσι, αντί να αναγκάζουμε τους εφήβους να είναι συνεχώς στον αγώνα, μπορεί να είναι πιο χρήσιμο στους γονείς ή τους δασκάλους τους, να τους δείξουν τον τρόπο με τον οποίο συνδέονται τα μαθηματικά με την πραγματική ζωή.

Πηγη

Περισσοτερα...

Τα μαθηματικά του κελαϊδίσματος

Ενα στατιστικό μοντέλο εξηγεί πώς τα πουλιά - και μαζί και εμείς οι άνθρωποι - μαθαίνουν από τα λάθη τους

Πώς τα ωδικά πτηνά μαθαίνουν να κελαηδούν σωστά, χωρίς φάλτσα; Αν ποτέ σας έχει απασχολήσει το ερώτημα, η επιστήμη είναι τώρα σε θέση να σας παρουσιάσει το πρώτο μαθηματικό μοντέλο που προβλέπει την ικανότητα των πουλιών να μαθαίνουν τη σωστή «ορθοφωνία» διδασκόμενα από τα λάθη τους.
Αν πάλι θεωρείτε το ζήτημα άνευ ουσίας, οι ειδικοί μπορούν εύκολα να σας πείσουν περί του αντιθέτου.
Το μοντέλο τους μπορεί να επεκταθεί σε όλα τα είδη, αποκαλύπτοντας πώς και εμείς οι άνθρωποι μαθαίνουμε από τα λάθη μας, ενώ παράλληλα μπορεί να βοηθήσει στην ανάπτυξη νέων θεραπειών για την αποκατάσταση της ομιλίας.

Μωρουδίστικα τραγούδια
Η μελέτη διεξήχθη από τον βιολόγο Σάμιουελ Σέιμπερ του Πανεπιστημίου Εμορι και τον φυσιολόγο Μάικλ Μπρέιναρντ του Πανεπιστημίου της Καλιφόρνια στο Σαν Φρανσίσκο σε κοινωνικούς σπίνους – γνωστοί και ως σπίνοι της Βεγγάλης (Lonchura striata domestica). Στόχος της ήταν η ανάπτυξη ενός μοντέλου το οποίο θα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τη διερεύνηση των μηχανισμών με τους οποίους ο εγκέφαλος μαθαίνει διορθώνοντας τα – φωνητικά στην περίπτωση αυτή – λάθη του.
Ακριβώς όπως εμείς οι άνθρωποι μαθαίνουμε να μιλάμε, τα μωρά των σπίνων μαθαίνουν να κελαηδούν ακούγοντας τους μεγάλους. Μόλις μερικές ημέρες αφού βγουν από το αβγό, οι μικροί σπίνοι της Βεγγάλης αρχίζουν να μιμούνται τους ήχους που βγάζουν τα ενήλικα πτηνά. «Στην αρχή το τραγούδι τους είναι υπερβολικά μεταβλητό και άναρθρο» εξηγεί ο κ. Σέιμπερ. «Σαν μωρουδίστικα, στην ουσία».
Στη συνέχεια ωστόσο τα μικρά εξασκούνται διαρκώς, ακούγοντας τους ήχους που βγάζουν κάθε φορά και διορθώνοντας τα λάθη που εντοπίζουν σε αυτούς. Με τον τρόπο αυτό κάποια στιγμή φθάνουν τα κελαηδούν όπως τα μεγαλύτερά τους πουλιά.

Πώς μαθαίνουμε από τα λάθη μας
Όπως τα παιδιά των ανθρώπων έτσι και τα μικρά των πτηνών κάνουν πολλά «μεγάλα» και «μικρά» λάθη καθώς μαθαίνουν να μιλούν ή να κελαηδούν – και έχουν την ικανότητα να τα διορθώνουν. Στους ενήλικες – ανθρώπους και πτηνά – η «μεταβλητότητα» στην επιδιόρθωση των λαθών είναι πολύ μικρότερη. Σύμφωνα με μια θεωρία αυτό συμβαίνει επειδή ο εγκέφαλος, για λόγους ασφαλείας, «φιλτράρει» τα λάθη, αποκλείοντας τα μεγάλα και επικεντρώνοντας την προσοχή του στα μικρότερα.
«Για να διορθώσει τα λάθη ο εγκέφαλος είναι αναγκασμένος να βασιστεί στις αισθήσεις» λέει ο κ. Σέιμπερ. «Το πρόβλημα είναι ότι οι αισθήσεις είναι αναξιόπιστες. Αν υπάρχει θόρυβος στο περιβάλλον, για παράδειγμα, ο εγκέφαλος μπορεί να θεωρήσει ότι δεν ακούει καλά και να αγνοήσει την αισθητική εμπειρία». Η σχέση ανάμεσα στη μεταβλητότητα της επιδιόρθωσης των λαθων και στην ικανότητα εκμάθησης ίσως εξηγεί, σύμφωνα με τους επιστήμονες, γιατί τα μικρά παιδιά μαθαίνουν πιο γρήγορα ενώ οι ενήλικες δεν προσαρμόζονται εύκολα στις αλλαγές και στις νέες συνθήκες.
«Είτε είναι κάποιος τραγουδιστής της όπερας είτε είναι πουλί υπάρχει πάντα μεταβλητότητα στους ήχους του» εξηγεί ο ειδκός. «Όταν ο εγκέφαλος συλλαμβάνει ένα λάθος στον τόνο φαίνεται ότι χρησιμοποιεί αυτή την απλή αλλά κομψή στρατηγική για να αξιολογήσει την πιθανότητα αυτό το λάθος να είναι απλώς ένας εξωτερικός θόρυβος – ένα πρόβλημα στην ανάγνωση του σήματος – ή ένα πραγματικό λάθος στην εκφώνηση».

Μικρό λάθος, καλύτερη εκμάθηση
Οι ερευνητές θέλησαν να ποσοτικοποιήσουν τη σχέση ανάμεσα στο μέγεθος ενός λάθους και την πιθανότητα που υπήρχε το λάθος αυτό να διορθωθεί από τον εγκέφαλο. Για τον λόγο αυτό, όπως περιγράφουν στο σχετικό άρθρο τους που δημοσιεύθηκε στην επιθεώρηση «Proceedings of the National Academy of Sciences», φόρεσαν στους σπίνους μικροσκοπικά ακουστικά. Μέσω αυτών τους «ξαναέπαιζαν» το τραγούδι τους κάνοντας παρεμβολές με τρόπο ώστε να τους ξεγελούν και να νομίζουν ότι κάνουν οι ίδιοι κάποιο λάθος.
«Όταν κάναμε μικρές αλλαγές στον τόνο τα πουλιά μάθαιναν πολύ καλά και διόρθωναν τα λάθη γρήγορα» λέει ο κ. Σέιμπερ. «Οσο μεγαλώναμε τις μεταβολές στον τόνο τα πουλιά μάθαιναν λιγότερο καλά ώσπου, σε ένα συγκεκριμένο σημείο, έπαυαν πια να μαθαίνουν».
Με βάση αυτά τα δεδομένα οι ειδικοί ανέπτυξαν το πρώτο μαθηματικό μοντέλο που περιγράφει το κατά πόσον ένα πουλί μπορεί να μάθει από τα λάθη του ανάλογα με το μέγεθος αυτών των λαθών καθώς και το σημείο στο οποίο αυτή η ικανότητα αυτή σταματά. «Ελπίζουμε ότι αυτό το μαθηματικό πλαίσιο σχετικά με το πώς τα πουλιά μαθαίνουν να κελαηδούν θα βοηθήσει στην ανάπτυξη συμπεριφορικών θεραπειών για την αποκατάσταση της ομιλίας στους ανθρώπους αλλά και θα αυξήσει τη γενικότερη κατανόησή μας σχετικά με το πώς ο εγκέφαλός μας μαθαίνει» τόνισε ο ερευνητής.

Πηγη

Περισσοτερα...

Συμμαχία μαθηματικών για τη σωτηρία της Γης

Πρωτοβουλία της Unesco προωθεί την κινητοποίηση επιστημόνων από όλο τον κόσμο
Οι μαθηματικοί του πλανήτη καλούνται να συνασπιστούν για να αντιμετωπίσουν παγκόσμια προβλήματα, σε μια φιλόδοξη πρωτοβουλία με τίτλο «Μαθηματικά του Πλανήτη Γη 2013».

Τις δυνάμεις τους ενώνουν πάνω από 100 ακαδημαϊκοί φορείς και επιστημονικές εταιρείες προκειμένου να κινητοποιήσουν μαθηματικούς από ολόκληρο τον κόσμο για να συνεισφέρουν στην επίλυση παγκόσμιων προβλημάτων, όπως είναι οι φυσικές καταστροφές, η κλιματική αλλαγή και οι πανδημίες.

Το πρόγραμμα θα διαρκέσει όλο το επόμενο έτος και θα περιλαμβάνει επιστημονικά συνέδρια, εργαστήρια, διαλέξεις και άλλες διοργανώσεις για ανθρώπους κάθε ηλικίας. Κάθε χώρα θα αναλάβει να φιλοξενήσει μια σημαντική εκδήλωση.

Η πρωτοβουλία γίνεται υπό την αιγίδα της Unesco, καθώς ο οργανισμός «υποστηρίζει σθεναρά την εξαιρετική συνεργασία των μαθηματικών από όλο τον κόσμο, προκειμένου να προωθήσουν την έρευνα πάνω σε θεμελιώδη ζητήματα που αφορούν τον πλανήτη Γη, να βοηθήσουν στην καλύτερη κατανόηση των παγκόσμιων προβλημάτων, να συμβάλλουν στην πληροφόρηση του κοινού και να εμπλουτίσουν το σχολικό πρόγραμμα, αναδεικνύοντας το ζωτικό ρόλο των μαθηματικών για την αντιμετώπιση των πλανητικών προκλήσεων». Τα παραπάνω δήλωσε η γενική διευθύντρια Ιρένα Μπόκοβα.

Η ιδέα πίσω από τη διοργάνωση ανήκει στον καθηγητή μαθηματικών στο πανεπιστήμιο του Μόντρεαλ, Κριστιάν Ρουσό.

Μεταξύ των προκλήσεων που καλούνται να συμβάλουν οι μαθηματικοί, είναι η δημιουργία πιο αξιόπιστων προβλέψεων για την κλιματική αλλαγή και τις φυσικές καταστροφές στο μέλλον. Επιπλέον, καλούνται να αναπτύξουν μοντέλα που θα κάνουν πιο βιώσιμη την οικονομία και λιγότερη επιρρεπή σε κρίσεις, να συμβάλουν στην ταχεία πρόβλεψη της εμφάνισης και εξάπλωσης νέων ασθενειών, στην αντιμετώπιση της βιομηχανικής ρύπανσης αλλά και στη δημιουργία νέων φαρμάκων.

Αυτά θα τα επιτύχουν, αναπτύσσοντας νέα μοντέλα πολυπλοκότητας, τα οποία θα συλλαμβάνουν καλύτερα τις ποικίλες αλληλεξαρτήσεις μεταξύ των άβιων και έμβιων συστημάτων της Γης. Άλλωστε, στη σημερινή εποχή τα μαθηματικά εμπλέκονται σε πλήθος επιστημονικών πεδίων όπως είναι η ιατρική, η βιολογία, η κλιματολογία, η οικονομία αλλά και η τεχνολογία.

Πηγη

Περισσοτερα...

Η ακολουθία Φιμπονάτσι

Τα πάντα είναι μαθηματικά, με αυτή τη φράση στο μυαλό σου δέξου  μία μικρή γεύση, πολύ μικρή όμως, από τη μαγεία των μαθηματικών (δεν διδάσκεται στο σχολείο και ούτε πρόκειται στο μέλλον).

Η ακολουθία Φιμπονάτσι δημιουργήθηκε από τον Λεονάρντο της Πίζας:

Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων. Έτσι προκύπτει: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …

Δες το βίντεο (είναι εξαιρετικό). Το έκαναν αυτοί εδώ.

Η ακολουθία Φιμπονάτσι συνδέεται με την αναλογία του φ που υπολόγισε ο Πυθαγόρας. Ο οποίος παρατήρησε ότι τα φυτά και τα ζώα δεν μεγαλώνουν τυχαία, αλλά σύμφωνα με ακριβείς μαθηματικούς κανόνες. Τα σχέδια των λουλουδιών δεν είναι τυχαία και βασίζονται σε γεωμετρική αναλογία.

Γενικά η εμφάνιση των αριθμών Φιμπονάτσι είναι καθολική και υπάρχει παντού στη φύση, επίσης έχει επηρεάσει την αρχιτεκτονική (βλέπε Παρθενώνα και μετέπειτα Le Corbusier, Bauhaus κλπ), την τέχνη (βλέπε Leonardo Da Vinci, Mozart), τη Γεωμετρία των Fractals.

Τα πάντα είναι αριθμοί...

Πηγη

Περισσοτερα...

Πώς θα καλλιεργήσουμε τη μαθηματική σκέψη

Πολλές φορές δεν αρκεί να εξηγήσουμε στο παιδί την πληροφορία που γράφει το βιβλίο ή την εκφώνηση της άσκησης. Αυτό που προέχει είναι να βοηθήσουμε το παιδί να "δει" με το σωστό τρόπο την όλη διαδικασία.

 

Στα Μαθηματικά για τα περισσότερα παιδιά το κλειδί είναι να καταλάβουν ότι "λύνω μια άσκηση στα Μαθηματικά" συχνά σημαίνει "προσπαθώ ξανά και ξανά, σκέφτομαι τα δεδομένα από την αρχή και δοκιμάζω". Άρα αυτό που χρειάζεται είναι να καλλιεργήσουμε στα παιδιά τη μαθηματική σκέψη. Για το σκοπό αυτό σας προτείνουμε τα εξής:

• Εξηγείστε στο παιδί ότι πρέπει να βλέπει τυχόν λάθη ως εργαλείο που του λέει τι πρέπει να ψάξει παραπάνω και να επανελέγξει. Επομένως, κάθε λάθος, θα πρέπει να είναι αφετηρία για νέα διερεύνηση/δοκιμή.

• Δώστε έμφαση στο να βοηθήσετε το παιδί να «διαβάζει» σωστά την εκφώνηση της άσκησης , ώστε να καταλαβαίνει τι του ζητά η άσκηση/πρόβλημα, γιατί συνήθως οι λάθος λύσεις οφείλονται στο ότι τα παιδιά δεν έχουν καταλάβει σωστά το πρόβλημα.

• Πάντα να ζητάτε από το παιδί να σας πει πώς σκέφθηκε για να λύσει την άσκηση. Ακόμα και αν η λύση είναι σωστή, μπορεί να ανακαλύψουμε με την κουβέντα ότι υπάρχει κάτι (π.χ. έννοια, διαδικασία) που το παιδί δεν έχει καταλάβει απόλυτα.

• Όταν διαπιστώσετε ότι το παιδί έχει καταλάβει κάτι λάθος ή δυσκολεύεται στην κατανόηση μιας έννοιας/διαδικασίας, μη διστάσετε να επικοινωνήσετε με τον εκπαιδευτικό και να τον συμβουλευτείτε για το πώς θα βοηθήσετε το παιδί.

• Όπως σε όλα τα πράγματα, έτσι και στα Μαθηματικά, η εξάσκηση είναι το κλειδί για τη βελτίωση. Να ενθαρρύνετε το παιδί να λύνει ασκήσεις, αλλά κυρίως αξιοποιείστε για εξάσκηση τα μαθηματικά προβλήματα της καθημερινής ζωής (π.χ. λογαριασμοί).

• Επειδή κάποια προβλήματα μπορεί να λύνονται με διαφορετικούς τρόπους, να ενθαρρύνετε το παιδί να δοκιμάζει διαφορετικούς τρόπους επίλυσης και γενικώς να ψάχνει.

Το σημαντικότερο είναι να καταλάβει το παιδί ότι «Κάνω μαθηματικά» σημαίνει επεξεργάζομαι δεδομένα, επιλέγω μέθοδο, δοκιμάζω, κάνω λάθη και επανεξετάζω. Η προσπάθεια, αυτό που λέμε «Παλεύω να λύσω μια άσκηση», δεν είναι ‘κακό’ ούτε συμβαίνει σε αυτούς που δεν ‘συμπαθούν’ τα Μαθηματικά, αλλά είναι κομμάτι της διαδικασίας και τελικώς η ουσία και ομορφιά των μαθηματικών.

 

Διεθνείς Έρευνες

Ας σημειωθεί ότι διεθνείς έρευνες όπως οι μελέτες ΤΙΜSS (1990- 1998) και ΡΙSΑ (του 2006) του ΟΟΣΑ για τις επιδόσεις στα μαθηματικά αναδεικνύουν την «ισότητα» ανδρικού και γυναικείου εγκεφάλου, αφού οι στατιστικές διαφορές είναι πολύ μικρές και ανατρέπουν την πεποίθηση της γυναικείας μειονεξίας στο συγκεκριμένο αντικείμενο.

Έρευνα που δημοσιεύθηκε αρχές του 2010 στο «Ρsychological Βulletin» και έγινε σε δείγμα μισού εκατομμυρίου μαθητών ηλικίας 14 έως 16 ετών από 69 χώρες δείχνει επίσης ότι δεν υπάρχει καμία διαφορά στις επιδόσεις των δύο φύλων.

 Πηγη

Περισσοτερα...

O αλγόριθμος των σουξέ

Μαθηματική φόρμουλα θα προβλέπει αν ένα τραγούδι θα γίνει επιτυχία

Τα μαθηματικά μπαίνουν στην υπηρεσία της ανεύρεσης τραγουδιών που θα αγαπήσει το κοινό

 

Ομάδα ειδικών προσπαθεί να αναπτύξει ένα επιστημονικό εργαλείο το οποίο θα βοηθά τους ανθρώπους της μουσικής βιομηχανίας στην αναζήτηση τραγουδιών που θα έχουν μεγάλη απήχηση στο κοινό και θα σκαρφαλώνουν γρήγορα στις πρώτες θέσεις των πωλήσεων. 

 

Η βάση δεδομένων
Ενας από τους γίγαντες της μουσικής βιομηχανίας, η ΕΜΙ, πραγματοποίησε τη μεγαλύτερη και πιο λεπτομερή μέχρι σήμερα έρευνα γύρω από τις μουσικές προτιμήσεις του κοινού. Οι ερευνητές ζήτησαν από ένα εκατομμύριο άτομα από 25 χώρες τη γνώμη τους για διαφόρους καλλιτέχνες της εταιρείας ενώ επίσης τους έβαζαν να ακούνε τραγούδια και τους ζητούσαν στη συνέχεια να τα αξιολογήσουν.
Δημιουργήθηκε έτσι μια τεράστια βάση δεδομένων η οποία ονομάστηκε One Million Interview Dataset. Η EMI στη συνέχεια στρατολόγησε 125 ειδικούς από το μη κερδοσκοπικό οργανισμό Data Science London οι οποίοι θα προσπαθήσουν να αναπτύξουν μια μαθηματική φόρμουλα, έναν αλγόριθμο, ο οποίος θα δείχνει στα στελέχη της εταιρείας αν ένα τραγούδι θα αρέσει στο κοινό.
«Η πώληση της μουσικής σχετίζεται με την πειθώ αλλά και το μάρκετινγκ. Θέλουμε λοιπόν να μάθουμε τι είναι αυτό που κάνει έναν ακροατή να αγαπήσει ένα τραγούδι. Φυσικά το επιστημονικό εργαλείο θα αποτελέσει έναν χρήσιμο σύμμαχό μας αλλά δεν πρόκειται σε καμία περίπτωση να αντικαταστήσει τον ανθρώπινο παράγοντα και το προαίσθημα που μπορεί να έχει ένας παραγωγός ή ένα στέλεχος μιας εταιρείας για έναν νέο καλλιτέχνη ή για ένα τραγούδι» αναφέρει ο Ντέιβιντ Μπόιλ, στέλεχος του εμπορικού τμήματος της EMI και επικεφαλής της συγκεκριμένης πρωτοβουλίας.

Πηγή

Περισσοτερα...

Χειρότερα στα μαθηματικά τα υπέρβαρα παιδιά

Τα υπέρβαρα παιδιά τα καταφέρνουν συνήθως χειρότερα στα μαθηματικά.


Η παιδική παχυσαρκία έχει αυξηθεί τα τελευταία χρόνια και ευθύνεται για διάφορα προβλήματα σωματικής και ψυχικής υγείας. Μία νέα αμερικανική έρευνα έρχεται να συνδέσει τα περιττά κιλά ενός παιδιού με τις χειρότερες επιδόσεις του στο σχολείο και ιδιαίτερα στα μαθηματικά.Οι ερευνητές του πανεπιστημίου του Μισούρι, με επικεφαλής την επίκουρη καθηγήτρια του Τμήματος Διαιτολογίας- Διατροφής Σάρα Γκέιμπλ, που δημοσίευσαν τη σχετική έρευνα στο περιοδικό για θέματα ανάπτυξης του παιδιού «Child Development», μελέτησαν περίπου 6.250 παιδιά από το νηπιαγωγείο έως σχεδόν το τέλος του δημοτικού, σε συνεργασία με τους δασκάλους και τους γονείς, που παρείχαν συνεχώς πληροφορίες για τα παιδιά. Τα τελευταία μετρούνταν τακτικά για το βάρος τους και παράλληλα υποβάλλονταν σε διάφορα τεστ επιδόσεων.
Οι ερευνητές διαπίστωσαν ότι τα παιδιά που ήσαν υπέρβαρα από το νηπιαγωγείο και σε όλο το δημοτικό, τα πήγαιναν χειρότερα στα μαθηματικά ήδη από την αρχή του δημοτικού, σε σχέση με τα παιδιά που ποτέ δεν είχαν παραπανίσια κιλά. Η χειρότερη επίδοση των υπέρβαρων παιδιών στα μαθηματικά συνεχίστηκε σε όλο το δημοτικό και δεν ήταν περιοδική.
Όμως, τα αγόρια που έγιναν υπέρβαρα αργότερα, στην τρίτη ή στην τετάρτη δημοτικού, δεν εμφάνισαν ανάλογο πρόβλημα με τα μαθηματικά. Τα κορίτσια που έγιναν υπέρβαρα με καθυστέρηση, εμφάνισαν περιστασιακό μόνο πρόβλημα στα μαθηματικά.
Οι ερευνητές ερμήνευσαν το φαινόμενο κυρίως με βάση την επίδραση της σωματικής εμφάνισης στις διαπροσωπικές σχέσεις των παιδιών και, κατά συνέπεια, στην ψυχολογία τους. Τα συνεχώς υπέρβαρα παιδιά, τόσο τα αγόρια όσο και τα κορίτσια, νιώθουν γενικά πιο λυπημένα, πιο μοναχικά και πιο αγχωμένα, πράγμα που έχει αρνητική επίπτωση στα μαθηματικά.
«Η μελέτη μάς δείχνει ότι η παιδική παχυσαρκία, ειδικά όταν επιμένει σε όλο το δημοτικό, μπορεί να κάνει κακό στην κοινωνική υπόσταση και τη συναισθηματική ευεξία των παιδιών, καθώς και στις σχολικές επιδόσεις τους», δήλωσε η Γκέιμπλ.
Βέβαια, όπως διευκρίνισε, η έρευνα δεν αποδεικνύει ότι υπάρχει μία άμεση σχέση αιτίου και αποτελέσματος ανάμεσα στο παραπανίσιο βάρος και στις επιδόσεις στα μαθήματα (ιδίως στα μαθηματικά), όμως αυτά τα δύο σχετίζονται. «Τα υπέρβαρα παιδιά δεν είναι κατ' ανάγκη λιγότερα έξυπνα, απλώς αποδίδουν λιγότερο. Είναι γνωστό ότι τα παιδιά που δεν έχουν καλές σχέσεις με τους συνομηλίκους τους, δεν τα καταφέρνουν εξίσου καλά στο σχολείο», δήλωσε η Αμερικανή ερευνήτρια, η οποία εκτίμησε ότι στο βαθμό που η παχυσαρκία επιμένει, κάθε χρόνο το κοινωνικό-ψυχολογικό πρόβλημα μπορεί να συσσωρεύεται σε ένα παιδί.
Το συμπέρασμα, κατά την Γκέιμπλ, είναι ότι «οι γονείς πρέπει να προστατεύσουν όσο μπορούν τα παιδιά τους από την παχυσαρκία και να επιβάλουν ένα υγιεινό τρόπο ζωής. Από τη στιγμή που ένα παιδί γίνεται υπέρβαρο, είναι πραγματικά δύσκολο να αλλάξει». Αυτή η στάση ζωής, για να είναι όμως αποτελεσματική, όπως είπε, πρέπει να περιλαμβάνει όλη την οικογένεια και όχι μόνο το παιδί. Από την άλλη, πρόσθεσε, είναι σημαντικό να εξηγηθεί στο παιδί ότι το βάρος του δεν είναι αυτό που τον προσδιορίζει ως άνθρωπο.

Πηγή

Περισσοτερα...

Πόσα είδωλα δίνουν δυο αντικρυστοί καθρέφτες;

Όταν ένα αντικείμενο καθρεφτίζεται σε δυο καθρέφτες ταυτόχρονα, βλέπουμε περισσότερα από ένα είδωλα.
Ο αριθμός των ειδώλων εξαρτάται από τη γωνία που σχηματίζουν μεταξύ τους οι δυο καθρέφτες και μπορεί να υπολογιστεί εύκολα από τον τύπο:
αριθμός ειδώλων = 360/(γωνία μεταξύ των καθρεφτών) – 1
Είναι δύσκολο να εξηγηθεί γιατί σχηματίζονται πολλά είδωλα. Με απλά λόγια, οι άξονες συμμετρίας των καθρεφτών λειτουργούν κι αυτοί ως καθρέφτες που καθρεφτίζουν εκ νέου τα αρχικά είδωλα. Όσο πιο μικρή είναι η γωνία μεταξύ των δυο καθρεφτών τόσο περισσότεροι άξονες συμμετρίας σχηματίζονται.
Συμβαίνει ό,τι συμβαίνει και με μια τούρτα που όσο πιο μικρά είναι τα κομμάτια της τόσο πιο πολλά είναι. Για το λόγο αυτό δημιουργούνται περισσότερα είδωλα.
Η πιο ακραία κατάσταση είναι εκείνη κατά την οποία οι καθρέφτες είναι παράλληλοι – τότε η γωνία μεταξύ τους είναι μηδενική (0 μοίρες).
Σύμφωνα με τη φόρμουλα, γίνεται διαίρεση με το μηδέν, κάτι αδύνατο, κι έτσι το αντικείμενο κρύβει τα ίδια τα είδωλά του. Αν όμως η γωνία είναι λίγο μεγαλύτερη της μηδενικής –και ταυτόχρονα το καθρεφτιζόμενο είδωλο είναι εξαιρετικά μικρό έτσι ώστε να έχει ασήμαντη «σκιά»– τότε θεωρητικά προκύπτει άπειρος αριθμός ειδώλων.
Ωστόσο στην πράξη ο αριθμός των ειδώλων θα είναι κατά πολύ μικρότερος, καθότι το αντανακλώμενο φως γίνεται όλο και πιο ασθενικό γιατί η σκόνη του αέρα αντανακλά μέρος του φωτός προς άλλες κατευθύνσεις.

Πηγη

Περισσοτερα...

Sudoku, η απόδειξη των 17

Επιστήμονες συνδυάζουν τα μαθηματικά με τις σπαζοκεφαλιές αλλά και τη... γενετική



Για πάρα πολλά χρόνια το σταυρόλεξο ήταν μια πολύ διαδεδομένη διανοητική απασχόληση που σχεδόν όλα τα έντυπα, εφημερίδες και περιοδικά, προσέφεραν στους αναγνώστες τους. Σήμερα το ενδιαφέρον των αναγνωστών έχει αρχίσει να τραβάει ένα άλλο είδος «σπαζοκεφαλιάς», το σουντόκου (sudoku), που ζητάει από τον λύτη να μαντέψει τη θέση αριθμών και όχι λέξεων. Το σουντόκου φαίνεται ότι ταιριάζει περισσότερο στο εφαρμοσμένο πνεύμα της εποχής, αφού απαιτεί κυρίως συνδυαστικό μυαλό και όχι εγκυκλοπαιδικές γνώσεις. Γι’ αυτό και έχει αποκτήσει φανατικούς οπαδούς, όχι μόνο μεταξύ των καθημερινών αναγνωστών των εντύπων αλλά και μεταξύ των επιστημόνων. Ετσι μια ομάδα μαθηματικών από το Πανεπιστήμιο του Δουβλίνου προσπάθησε να απαντήσει στο ερώτημα «ποιο είναι το ελάχιστο πλήθος μονοψήφιων αριθμών που χρειάζεται να τοποθετηθεί σε ένα σουντόκου, έτσι ώστε το παιχνίδι να έχει μια μοναδική λύση;». Υστερα από έναν χρόνο υπολογισμών σε έναν ηλεκτρονικό υπερυπολογιστή, κατέληξαν ότι χρειάζονται τουλάχιστον 17 αριθμοί. Η στρατηγική που ανέπτυξαν για τη λύση του προβλήματος αναμένεται να βοηθήσει σημαντικά σε άλλες, φαινομενικά ασύνδετες, περιοχές σύγχρονης ερευνητικής δραστηριότητας, όπως για παράδειγμα στην αποκρυπτογράφηση του DNA.   

Κληρονομιά του Οϊλερ
Το σουντόκου, με τη μορφή που είναι γνωστό σήμερα, έχει πολύ σύντομη ιστορία, αφού παρουσιάστηκε για πρώτη φορά στο ευρύ κοινό από τον ιαπωνικό εκδοτικό οίκο Nicoli, ο οποίος ειδικεύεται σε πνευματικά παιχνίδια, μόλις το 1986. Στόχος του παιχνιδιού είναι να συμπληρωθούν τα 81 στοιχεία ενός πίνακα 9x9 (δηλαδή με 9 σειρές και 9 στήλες) με τους μονοψήφιους ακέραιους αριθμούς από το 1 ως το 9 με τέτοιον τρόπο ώστε ο ίδιος αριθμός να μην εμφανίζεται δύο φορές στην ίδια σειρά, στην ίδια στήλη ή στον καθένα από τους 9 υποπίνακες διαστάσεων 3x3 που περιέχονται στον «μεγάλο» πίνακα 9x9. Η βασική ιδέα του παιχνιδιού όμως είναι πολύ παλιά, αφού έχει αποτελέσει αντικείμενο δημοσιεύσεων του μεγάλου ελβετού μαθηματικού Οϊλερ (Euler), ήδη από τον 18ο αιώνα.
Αντίθετα με το σταυρόλεξο, οι πιθανές λύσεις του οποίου είναι τόσο περισσότερες όσο μεγαλύτερες είναι οι διαστάσεις του σταυρόλεξου και όσο περισσότερες γλώσσες χρησιμοποιούμε, το σουντόκου έχει ακριβώς 6.670.903.752.021.072.936.960 (δηλαδή περίπου 6,7 δισεκατομμύρια τρισεκατομμυρίων) δυνατές λύσεις. Για να βρούμε μία από αυτές, χρειαζόμαστε τη βοήθεια του δημιουργού του κάθε προβλήματος-γρίφου. Η βοήθεια αυτή δίνεται με τη μορφή μιας ομάδας από τα ψηφία 1-9, τα οποία έχουν προτοποθετηθεί σε ορισμένα από τα 81 τετραγωνάκια. Συνήθως δίνονται καμιά 25αριά, αλλά από την εποχή που πρωτοεμφανίστηκε το παιχνίδι εμφανίστηκε και το ερώτημα «ποιος είναι ο ελάχιστος αριθμός δοσμένων ψηφίων, έτσι ώστε το συγκεκριμένο πρόβλημα σουντόκου να έχει μόνο μία λύση;».
Το ερώτημα είναι αντίστοιχο με ένα απλό πρόβλημα πρόσθεσης στην αριθμητική. Αν γνωρίζουμε ότι δύο αριθμοί έχουν άθροισμα 10 και ο ένας από αυτούς είναι το 3, τότε το πρόβλημα έχει μόνο μία λύση: ο άλλος αριθμός είναι το 7. Αν όμως γνωρίζουμε ότι τρεις αριθμοί έχουν άθροισμα 10, τότε πρέπει να γνωρίζουμε τους δύο, αν θέλουμε το πρόβλημα να έχει μία μοναδική λύση. Αν γνωρίζουμε μόνο τον έναν, π.χ. το 2, τότε δυνατές λύσεις για τους υπόλοιπους δύο μπορεί να είναι τόσο το 3 με το 5, όσο και το 1 με το 7. Στο σουντόκου είναι εύκολο να δείξουμε ότι 7 ψηφία δεν είναι αρκετά για μία μοναδική λύση, αφού τα δύο εναπομένοντα (ως τα 9) ψηφία είναι δυνατό να αλλάξουν αμοιβαία θέση σε μια λύση, έτσι ώστε να δώσουν μια δεύτερη. Από καιρό υπήρχαν γνωστές λύσεις σουντόκου που είναι μοναδικές για 17 συμπληρωμένα τετραγωνάκια, ενώ δεν υπήρχε καμία γνωστή που να δίνει μοναδική λύση με συμπληρωμένα 16. Ετσι είχε δημιουργηθεί η άποψη ότι για να έχει ένα πρόβλημα σουντόκου μία μοναδική λύση χρειάζεται να δίνονται τουλάχιστον 17 συμπληρωμένα τετραγωνάκια. Η ομάδα των ιρλανδών μαθηματικών απέδειξε ότι αυτή η υπόθεση είναι σωστή, ο τρόπος που το κατάφεραν όμως είναι αξιοσημείωτος.

6,7 δισεκατομμύρια τρισεκατομμυρίων είναι χονδρικά οι πιθανές λύσεις του sudoku. 5,4 δισεκατομμύρια απ’ αυτές είναι ανεξάρτητες, δηλαδή «πρωτότυπες»

Ανεξάρτητες και «εξαρτημένες» λύσεις

Κατ’ αρχάς μπορεί να δείξει κανείς ότι από τα περίπου 7 δισεκατομμύρια τρισεκατομμυρίων δυνατών λύσεων, «μόνο» οι 5.472.730.538 είναι ανεξάρτητες, αφού από κάθε λύση μπορούμε να πάρουμε μιαν άλλη, απλά εναλλάσσοντας τις θέσεις δύο γραμμών ή δύο στηλών ή εναλλάσσοντας τις θέσεις ενός ψηφίου, π.χ. του 1, με αυτές ενός άλλου, π.χ. του 3. Αλλά και αυτός ο αριθμός (5,5 δισεκατομμύρια περίπου) είναι πολύ μεγάλος, επειδή αν θέλουμε να ελέγξουμε το κατά πόσον καθεμία από αυτές τις λύσεις μπορεί να βρεθεί αν δοθούν μόνο 16 συμπληρωμένα τετραγωνάκια, απαιτείται να κάνουμε περίπου 34 τετράκις εκατομμύρια δοκιμές, αριθμός που μαθηματικά ισούται με όλους τους συνδυασμούς των 81 δυνατών θέσεων ανά ομάδες των 16. Στο σημείο αυτό υπεισήλθε η ευφυής στρατηγική της ιρλανδικής ομάδας, η οποία κατάφερε να μειώσει δραστικά αυτόν τον αριθμό, αφαιρώντας περιπτώσεις που είναι ισοδύναμες. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας την παραπάνω στρατηγική, η ομάδα προγραμμάτισε έναν ηλεκτρονικό υπερυπολογιστή με τέτοιον τρόπο ώστε να καταστεί δυνατό να διερευνηθεί αν έστω και ένα από τα 5,5 δισεκατομμύρια ανεξάρτητων σουντόκου μπορεί να λυθεί μοναδικά με συμπληρωμένα μόνο 16 τετραγωνάκια. Το πρόγραμμα που έγραψε η ομάδα «έτρεξε» σε έναν υπερυπολογιστή Silicon Graphics, αποτελούμενο από 640 επεξεργαστές Intel Xeon, για 12 μήνες, από τον Ιανουάριο ως τον Δεκέμβριο του 2011. Το αποτέλεσμα ήταν ότι δεν εντοπίστηκε καμία από τα 5,5 δισεκατομμύρια γνωστές λύσεις που να βρίσκεται με μοναδικό τρόπο, αν δοθούν συμπληρωμένα 16 μόνο τετραγωνάκια. Ετσι προκύπτει ότι ο ελάχιστος αριθμός των συμπληρωμένων τετραγώνων πρέπει να είναι 17, αφού για τον αριθμό αυτόν υπάρχουν ήδη γνωστά προβλήματα με μοναδικές λύσεις.

Από τη σπαζοκεφαλιά στο... γονιδίωμα
Πέρα από το ενδιαφέρον σημείο της επίλυσης ενός δύσκολου μαθηματικού προβλήματος, τα ερευνητικά αποτελέσματα της ιρλανδικής ομάδας είναι πολύ σημαντικά, επειδή η μέθοδος που ακολούθησαν για τον περιορισμό των μαθηματικών υπολογισμών σε «διαχειρίσιμη» έκταση μπορεί να εφαρμοστεί και σε άλλα, εντελώς διαφορετικά, επιστημονικά πεδία. Τέτοια εφαρμογή είναι, για παράδειγμα, η ανάλυση της ακολουθίας των γονιδίων στο DNA του ανθρώπου και των άλλων ζώων και φυτών. Συγκεκριμένα, οι συσκευές ανάλυσης DNA του μέλλοντος προβλέπεται ότι θα είναι ικανές να αναλύουν το γονιδίωμα δεκάδων χιλιάδων δειγμάτων ταυτόχρονα, χάρη σε μια μορφή στατιστικής προσέγγισης που συνδέεται με το πρόβλημα επίλυσης ενός προβλήματος σουντόκου. Για τον λόγο αυτόν άλλωστε ονομάζεται και DNA-Sudoku. Η μέθοδος αυτή θα επιτρέψει τη σύγκριση του DNA ενός πολύ μεγάλου δείγματος, π.χ. των κατοίκων μιας χώρας, για την ανεύρεση διαφοροποιήσεων σε συγκεκριμένες θέσεις και τη σύνδεσή τους με εξωτερικά χαρακτηριστικά.

Πηγή

Περισσοτερα...

7 εξισώσεις που άλλαξαν τον κόσμο

Καμία από τις καθημερινές μας συνήθειες δεν θα ήταν εφικτή χωρίς τις επτά εξισώσεις

Για να φθάσει στο ντους σας το νερό χρειάζεται μια σειρά από εξισώσεις που ρυθμίζουν την παροχή και τη ροή του

Το ξυπνητήρι χτυπάει. Κοιτάζετε το ρολόι. Η ώρα είναι 6.30 το πρωί. Δεν έχετε καλά-καλά σηκωθεί από το κρεβάτι και ήδη τουλάχιστον έξι μαθηματικές εξισώσεις έχουν μπει στη ζωή σας. Το τσιπάκι της μνήμης που αποθηκεύει την ώρα στο ρολόι σας δεν θα μπορούσε να φτιαχτεί χωρίς μια βασική εξίσωση της Κβαντομηχανικής. Η ώρα του έχει οριστεί από ένα ραδιοηλεκτρικό σήμα το οποίο δεν θα είχαμε επινοήσει ούτε στα όνειρά μας χωρίς τις τέσσερις εξισώσεις του ηλεκτρομαγνητισμού του Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ. Αυτό δε το σήμα μεταδίδεται με βάση τον τύπο που είναι γνωστός ως κυματική εξίσωση. Κολυμπάμε συνεχώς σε έναν κρυφό ωκεανό εξισώσεων. Υπάρχουν πίσω από τις μεταφορές, το οικονομικό σύστημα, την Υγεία, την πρόληψη και τη διερεύνηση του εγκλήματος, τις επικοινωνίες, το φαγητό, το νερό, τη θέρμανση και τον φωτισμό μας.

Οταν μπαίνετε στο ντους εξισώσεις ρυθμίζουν την παροχή του νερού σας. Τα δημητριακά στο πρωινό σας προέρχονται από σοδειές που καλλιεργήθηκαν με τη βοήθεια στατιστικών εξισώσεων. Το αεροδυναμικό σχήμα του αυτοκινήτου με το οποίο πηγαίνετε στη δουλειά σας οφείλεται ως έναν βαθμό στις εξισώσεις Ναβιέ - Στρόουκς που περιγράφουν πώς ο αέρας ρέει γύρω του. Ανοίγοντας τον πλοηγό σας μπαίνετε ξανά στο πεδίο της Κβαντικής Φυσικής, όπως και σε αυτό των νόμων του Νεύτωνα για την κίνηση και τη βαρύτητα, οι οποίοι βοήθησαν στην εκτόξευση και στον καθορισμό της τροχιάς των γεωδαιτικών δορυφόρων. Η συσκευή χρησιμοποιεί επίσης εξισώσεις-γεννήτριες τυχαίων αριθμών για τον συγχρονισμό των σημάτων, τριγωνομετρικές εξισώσεις για τον υπολογισμό της θέσης, καθώς και την ειδική και γενική σχετικότητα για την ακριβή ανίχνευση της κίνησης των δορυφόρων υπό τη βαρύτητα της Γης.
Χωρίς εξισώσεις το μεγαλύτερο μέρος της τεχνολογίας μας δεν θα είχε εφευρεθεί ποτέ. Βεβαίως σημαντικές εφευρέσεις όπως η φωτιά και ο τροχός προήλθαν χωρίς καμία μαθηματική γνώση. Παρ' όλα αυτά χωρίς τις εξισώσεις θα βρισκόμασταν ακόμη σε έναν κόσμο του Μεσαίωνα.
Οι εξισώσεις δεν περιορίζονται όμως μόνο στην τεχνολογία. Χωρίς αυτές δεν θα κατανοούσαμε τη Φυσική που διέπει τις παλίρροιες, τα κύματα που σκάνε στην ακτή, τις συνεχείς μεταβολές του καιρού, τις κινήσεις των πλανητών, τα πυρηνικά καμίνια των άστρων, τις σπείρες των γαλαξιών – την απεραντοσύνη του Σύμπαντος και τη θέση μας μέσα σε αυτό.
Υπάρχουν χιλιάδες σημαντικές εξισώσεις. Οι επτά στις οποίες επικεντρώνομαι εδώ – η κυματική εξίσωση, οι τέσσερις εξισώσεις του Μάξγουελ, ο μετασχηματισμός του Φουριέ και η εξίσωση του Σρέντινγκερ – απεικονίζουν πώς οι εμπειρικές παρατηρήσεις οδήγησαν σε εξισώσεις τις οποίες χρησιμοποιούμε τόσο στην επιστήμη όσο και στην καθημερινή ζωή.


Ενας κόσμος κυμάτων
Κατ' αρχάς, η κυματική εξίσωση. Ζούμε σε έναν κόσμο κυμάτων. Τα αφτιά μας ανιχνεύουν κύματα συμπίεσης στον αέρα ως ήχους, ενώ τα μάτια μας ανιχνεύουν κύματα φωτός. Οταν ένας σεισμός πλήττει μια πόλη, η καταστροφή προκαλείται από σεισμικά κύματα που κινούνται μέσα στη Γη. Θα ήταν δύσκολο οι μαθηματικοί και οι επιστήμονες να μην προβληματιστούν σχετικά με τα κύματα, η αφορμή όμως ήρθε από τις τέχνες: πώς παράγει ήχο ένα βιολί; Το ερώτημα ανάγεται στην αρχαιότητα και στους Πυθαγόρειους, οι οποίοι ανακάλυψαν ότι αν τα μήκη δύο χορδών ίδιου είδους και τάσης διέπονται από έναν απλό λόγο όπως 2:1 ή 3:2, τότε παράγουν νότες οι οποίες όταν παίζονται μαζί ακούγονται ασυνήθιστα αρμονικές. Οι πιο σύνθετοι λόγοι είναι δυσαρμονικοί και δυσάρεστοι στο αφτί. Ο ελβετός μαθηματικός Γιόχαν Μπερνούλι ήταν ο πρώτος που κατάλαβε το νόημα αυτών των παρατηρήσεων. Το 1727 απεικόνισε τη χορδή ενός βιολιού σαν έναν τεράστιο αριθμό από πυκνά σημεία μάζας που συνδέονται μεταξύ τους με ελάσματα. Χρησιμοποίησε τους νόμους του Νεύτωνα για να εξαγάγει τις εξισώσεις κίνησης του συστήματος και στη συνέχεια τις έλυσε. Από τις λύσεις συμπέρανε ότι το απλούστερο σχήμα για μια παλλόμενη χορδή είναι μια ημιτονοειδής καμπύλη. Υπάρχουν επίσης άλλοι τρόποι δόνησης – ημιτονοειδείς καμπύλες στις οποίες περισσότερα από ένα κύματα ταιριάζουν στο μήκος της χορδής, γνωστές στους μουσικούς ως αρμονικές.


Ντ'Αλαμπέρ: Βιολιά και σεισμοί
Σχεδόν 20 χρόνια μετά, ο Ζαν λε Ρον ντ' Αλαμπέρ ακολούθησε μια παρόμοια διαδικασία. Επικεντρώθηκε όμως στην απλοποίηση των εξισώσεων της κίνησης και όχι στη λύση τους. Αυτό που προέκυψε ήταν μια κομψή εξίσωση η οποία περιγράφει πώς το σχήμα της χορδής αλλάζει με τον χρόνο. Αυτή είναι η κυματική εξίσωση, η οποία δηλώνει ότι η επιτάχυνση οποιουδήποτε μικρού τμήματος της χορδής είναι ανάλογη με την τάση που επιδρά σε αυτήν. Αυτό υποδηλώνει ότι τα κύματα των οποίων οι συχνότητες δεν παρουσιάζουν μια αναλογία απλών αριθμών παράγουν έναν δυσάρεστο θόρυβο σαν βουητό ο οποίος είναι γνωστός ως «διακροτήματα» (beats). Αυτός είναι ένας λόγος για τον οποίο οι απλοί αριθμητικοί λόγοι δίνουν νότες που ακούγονται αρμονικές.
Η κυματική εξίσωση μπορεί να τροποποιηθεί για να χειριστεί πιο σύνθετα φαινόμενα, όπως οι σεισμοί. Εξελιγμένες μορφές της κυματικής εξίσωσης επιτρέπουν στους σεισμολόγους να ανιχνεύσουν τι συμβαίνει εκατοντάδες χιλιόμετρα κάτω από τα πόδια μας. Μπορούν να χαρτογραφήσουν τις τεκτονικές πλάκες της Γης καθώς αυτές γλιστρούν η μία κάτω από την άλλη προκαλώντας σεισμούς και ηφαιστειακές εκρήξεις. Το μεγαλύτερο τρόπαιο σε αυτόν τον τομέα θα ήταν ένας αξιόπιστος τρόπος πρόβλεψης των σεισμών και των ηφαιστειακών εκρήξεων και πολλές από τις μεθόδους που διερευνώνται γι' αυτόν τον σκοπό βασίζονται στην κυματική εξίσωση.


Από την άμαξα στον τηλέγραφο
Οι εξισώσεις κρύβονται ακόμη και πίσω από τις καλλιέργειες που φέρνουν τα δημητριακά στο πρωινό μας.
Η πιο σημαντική όμως έμπνευση που πρόσφερε η κυματική εξίσωση γεννήθηκε με τις εξισώσεις του Μάξγουελ για τον ηλεκτρομαγνητισμό. Το 1820 οι περισσότεροι άνθρωποι φώτιζαν τα σπίτια τους με κεριά και φανάρια. Αν θέλατε να στείλετε κάποιο μήνυμα, γράφατε ένα γράμμα και το βάζατε σε μια άμαξα που την έσερναν άλογα· για τα επείγοντα μηνύματα, παραλείπατε την άμαξα. Μέσα σε 100 χρόνια τα σπίτια και οι δρόμοι είχαν ηλεκτρικό φωτισμό, σήματα μεταφέρονταν με τον τηλέγραφο από ήπειρο σε ήπειρο και οι άνθρωποι άρχισαν ακόμη και να μιλάνε ο ένας στον άλλον από μακριά μέσω τηλεφώνου. Η ραδιοεπικοινωνία είχε αποδειχθεί στο εργαστήριο και ένας επιχειρηματίας είχε στήσει μια επιχείρηση πουλώντας «ασύρματα» στο κοινό.
Η κοινωνική και τεχνολογική επανάσταση πυροδοτήθηκε από τις ανακαλύψεις δύο επιστημόνων. Περίπου το 1830 ο Μάικλ Φαραντέι έθεσε τα θεμέλια της Φυσικής του Ηλεκτρομαγνητισμού. Τριάντα χρόνια αργότερα ο Τζέιμς Κλαρκ Μάξγουελ ξεκίνησε την αναζήτησή του προσπαθώντας να διατυπώσει μια μαθηματική βάση για τα πειράματα και τις θεωρίες του Φαραντέι.


Φαραντέι: τα πεδία
Την εποχή εκείνη οι περισσότεροι φυσικοί που εργάζονταν στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό αναζητούσαν αναλογίες με τη βαρύτητα, την οποία έβλεπαν ως μια δύναμη που επενεργεί σε δύο σώματα τα οποία βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους. Ο Φαραντέι είχε μια διαφορετική ιδέα: για να εξηγήσει τη σειρά των πειραμάτων που έκανε σε σχέση με τον ηλεκτρισμό και τον μαγνητισμό υποστήριξε ότι και τα δύο φαινόμενα είναι πεδία τα οποία διαχέονται στον χώρο, αλλάζουν με τον χρόνο και μπορούν να ανιχνευθούν από τις δυνάμεις που παράγουν. Ο Φαραντέι διετύπωσε τις θεωρίες του με τους όρους γεωμετρικών σχημάτων, όπως οι γραμμές μαγνητικής δύναμης.
Ο Μάξγουελ επαναδιατύπωσε αυτές τις ιδέες κατ' αναλογία με τα Μαθηματικά της ροής των ρευστών. Υποστήριξε ότι οι γραμμές της δύναμης ήταν ανάλογες με τις διαδρομές που ακολουθούν τα μόρια ενός ρευστού και ότι η ένταση του ηλεκτρικού ή του μαγνητικού πεδίου ήταν ανάλογη με την ταχύτητα του ρευστού. Ως το 1864 ο Μάξγουελ είχε διατυπώσει τέσσερις εξισώσεις για τις βασικές αλληλεπιδράσεις ανάμεσα στα ηλεκτρικά και στα μαγνητικά πεδία. Οι δύο μάς λένε ότι ο ηλεκτρισμός και ο μαγνητισμός δεν μπορούν να διαρρεύσουν σε μεγάλη απόσταση. Οι άλλες δύο μάς λένε ότι όταν μια περιοχή ηλεκτρικού πεδίου περιστρέφεται κυκλικά δημιουργεί μαγνητικό πεδίο, ενώ μια περιστρεφόμενη περιοχή μαγνητικού πεδίου δημιουργεί ηλεκτρικό πεδίο.


Μάξγουελ: Φως στο φως
Εκείνο όμως το οποίο έκανε όλα αυτά τόσο εκπληκτικά ήταν αυτό που ο Μάξγουελ έκανε στη συνέχεια. Κάνοντας μερικές απλές μετατροπές στις εξισώσεις του, μπόρεσε να εξαγάγει την κυματική εξίσωση και συμπέρανε ότι το φως θα πρέπει να είναι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα. Αυτό και μόνο ήταν καταπληκτικό, εφόσον κανείς ως τότε δεν είχε φανταστεί μια τόσο θεμελιώδη σχέση ανάμεσα στο φως, στον ηλεκτρισμό και στον μαγνητισμό. Δεν ήταν όμως μόνον αυτό. Το φως υπάρχει σε διάφορα χρώματα, αντίστοιχα με διαφορετικά μήκη κύματος. Τα μήκη κύματος που εμείς βλέπουμε περιορίζονται από τη χημεία των χρωστικών του ματιού που ανιχνεύουν το φως. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ οδήγησαν σε μια συγκλονιστική πρόβλεψη – ότι ήταν δυνατόν να υπάρχουν ηλεκτρομαγνητικά κύματα όλων των μηκών κύματος. Κάποια από αυτά, με μήκη κύματος μεγαλύτερα από αυτά που μπορούμε να δούμε, θα άλλαζαν τον κόσμο: τα ραδιοκύματα.
Το 1887 ο Χάινριχ Χερτς απέδειξε πειραματικά τα ραδιοκύματα. Δεν υπολόγισε όμως την πιο επαναστατική εφαρμογή τους. Αν μπορούσε κανείς να εντυπώσει ένα σήμα επάνω σε ένα τέτοιο κύμα θα μπορούσε να μιλήσει στον κόσμο. Ο Νίκολα Τέσλα, ο Γουλιέλμος Μαρκόνι και άλλοι έκαναν το όνειρο αυτό πραγματικότητα και ολόκληρη η πανοπλία των σύγχρονων επικοινωνιών, από το ραδιόφωνο και την τηλεόραση ως το ραντάρ και τις ζεύξεις μικροκυμάτων για τα κινητά τηλέφωνα, ήταν ένα φυσικό επακόλουθο. Και όλα προήλθαν από τέσσερις εξισώσεις και δύο σύντομους υπολογισμούς. Οι εξισώσεις του Μάξγουελ δεν άλλαξαν απλώς τον κόσμο. Ανοιξαν έναν καινούργιο.
Εξίσου σημαντικά με αυτά που περιγράφουν οι εξισώσεις του Μάξγουελ είναι εκείνα που δεν περιγράφουν. Αν και οι εξισώσεις αποκάλυψαν ότι το φως είναι κύμα, οι φυσικοί σύντομα ανακάλυψαν ότι η συμπεριφορά του μερικές φορές δεν συμβάδιζε με αυτή την άποψη. Αν ρίξετε φως σε ένα μέταλλο παράγεται ηλεκτρισμός – ένα φαινόμενο που ονομάζεται φωτοηλεκτρικό φαινόμενο. Αυτό θα είχε νόημα μόνο αν το φως συμπεριφερόταν σαν σωματίδιο. Ηταν λοιπόν το φως κύμα ή σωματίδιο; Στην πραγματικότητα ήταν και τα δύο. Η ύλη αποτελείται από κβαντικά κύματα και μια σφιχτοδεμένη δέσμη κυμάτων ενεργεί σαν σωματίδιο.


Σρέντινγκερ: Νεκρή ή ζωντανή;
Στον παράξενο κόσμο των κβαντικών υπολογισμών του Σρέντιγκερ μια γάτα μπορεί να είναι νεκρή και ζωντανή ταυτοχρόνως.
Το 1927 ο Ερβιν Σρέντινγκερ ανέπτυξε μια εξίσωση για τα κβαντικά κύματα. Αυτή ταίριαζε άψογα στα πειράματα, ενώ παράλληλα περιέγραφε έναν πολύ παράξενο κόσμο, στον οποίο τα θεμελιώδη σωματίδια όπως το ηλεκτρόνιο δεν είναι αυστηρά καθορισμένα αντικείμενα αλλά νέφη πιθανοτήτων. Η ιδιοστροφορμή (spin) ενός ηλεκτρονίου είναι σαν ένα νόμισμα το οποίο μπορεί να είναι μισό κορόνα - μισό γράμματα ώσπου να πέσει στο τραπέζι. Σύντομα οι θεωρητικοί άρχισαν να προβληματίζονται για ένα σωρό κβαντικές παραξενιές, όπως οι γάτες που ήταν ταυτοχρόνως νεκρές και ζωντανές και τα παράλληλα σύμπαντα στα οποία ο Αδόλφος Χίτλερ κέρδιζε τον Β' Παγκόσμιο Πόλεμο.
Η Κβαντομηχανική δεν περιορίζεται όμως μόνο σε φιλοσοφικά αινίγματα. Σχεδόν όλες οι σύγχρονες συσκευές – ηλεκτρονικοί υπολογιστές, κινητά τηλέφωνα, κονσόλες βιντεοπαιχνιδιών, αυτοκίνητα, ψυγεία, φούρνοι – έχουν τσιπ μνήμης που βασίζονται στο τρανζίστορ, του οποίου η λειτουργία βασίζεται στην Κβαντομηχανική των Ημιαγωγών. Νέες χρήσεις της Κβαντομηχανικής φθάνουν σχεδόν κάθε εβδομάδα. Οι κβαντικές τελείες – μικροσκοπικοί «σβώλοι» ημιαγωγών – μπορούν να εκπέμψουν φως οποιουδήποτε χρώματος και χρησιμοποιούνται στις βιολογικές απεικονίσεις, όπου μπορούν να αντικαταστήσουν τις παραδοσιακές, συχνά τοξικές, χρωστικές. Οι μηχανικοί και οι φυσικοί προσπαθούν να επινοήσουν έναν κβαντικό υπολογιστή ο οποίος θα μπορεί να εκτελεί πολλούς διαφορετικούς υπολογισμούς παράλληλα, σαν τη γάτα που είναι μαζί νεκρή και ζωντανή.
Τα λέιζερ αποτελούν μιαν άλλη εφαρμογή της Κβαντομηχανικής. Τα χρησιμοποιούμε για να διαβάσουμε πληροφορίες από μικροσκοπικά «λακκάκια» στους δίσκους CD, DVD και Blu-ray. Οι αστρονόμοι τα χρησιμοποιούν για να μετρήσουν την απόσταση από τη Γη ως τη Σελήνη. Ισως ακόμη και να ήταν δυνατόν να εκτοξεύσουμε διαστημικά οχήματα από τη Γη επάνω σε μια ισχυρή ακτίνα λέιζερ.


Φουριέ: πάνω απ' όλα η μέθοδος
Το τελευταίο κεφάλαιο σε αυτή την ιστορία έρχεται από μια εξίσωση η οποία μας βοηθά να κατανοήσουμε τα κύματα. Αρχίζει το 1807, όταν ο Ζοζέφ Φουριέ επινόησε μια εξίσωση για τη ροή της θερμότητας. Υπέβαλε το σχετικό άρθρο στη Γαλλική Ακαδημία Επιστημών, όμως αυτό απερρίφθη. Το 1812 η Ακαδημία όρισε τη θερμότητα ως θέμα για το ετήσιο βραβείο της. Ο Φουριέ υπέβαλε ένα μακροσκελέστερο, αναθεωρημένο άρθρο – και κέρδισε.
Η πιο ενδιαφέρουσα πλευρά του βραβευμένου άρθρου του Φουριέ δεν ήταν η εξίσωση αλλά ο τρόπος με τον οποίο την έλυσε. Ενα βασικό πρόβλημα ήταν το να βρει κανείς πώς η θερμότητα κατά μήκος μιας λεπτής ράβδου αλλάζει με τον χρόνο με βάση το πρότυπο της αρχικής θερμοκρασίας. Ο Φουριέ θα μπορούσε να λύσει την εξίσωση άνετα αν η θερμοκρασία μεταβαλλόταν σαν ημιτονοειδές κύμα κατά μήκος της ράβδου. Απεικόνισε ένα πιο σύνθετο πρότυπο με έναν συνδυασμό ημιτονοειδών καμπυλών με διαφορετικά μήκη κύματος, έλυσε την εξίσωση για κάθε συνιστώσα ημιτονοειδή καμπύλη και πρόσθεσε αυτές τις λύσεις μεταξύ τους. Ο Φουριέ υποστήριξε ότι η μέθοδος αυτή ίσχυε για οποιοδήποτε πρότυπο, ακόμη και για εκείνα στα οποία η θερμοκρασία αλλάζει απότομα τιμή. Το μόνο που χρειαζόταν ήταν να προσθέσει κανείς έναν άπειρο αριθμό συνιστωσών από ημιτονοειδείς καμπύλες.
Παρ' όλα αυτά το νέο άρθρο του Φουριέ επικρίθηκε ότι δεν ήταν αρκετά τεκμηριωμένο και για ακόμη μία φορά η Γαλλική Ακαδημία αρνήθηκε να το δημοσιεύσει. Το 1822 ο Φουριέ αγνόησε τις αντιρρήσεις και δημοσίευσε τη θεωρία του ως βιβλίο. Δύο χρόνια αργότερα έγινε γραμματέας της Ακαδημίας, έβγαλε τη γλώσσα στους επικριτές του και δημοσίευσε την αρχική εργασία στην επιθεώρηση της Ακαδημίας. Ωστόσο οι επικριτές είχαν ένα δίκιο. Οι μαθηματικοί είχαν αρχίσει να συνειδητοποιούν ότι οι άπειρες σειρές ήταν επικίνδυνα όντα: δεν συμπεριφέρονταν πάντα σαν τα ωραία, πεπερασμένα αθροίσματα. Η επίλυση αυτών των ζητημάτων αποδείχθηκε εξαιρετικά δύσκολη, όμως η τελική ετυμηγορία ήταν ότι η ιδέα του Φουριέ θα μπορούσε να τεκμηριωθεί πλήρως αποκλείοντας τα εξαιρετικά άτακτα πρότυπα. Το αποτέλεσμα είναι ο μετασχηματισμός του Φουριέ, μια εξίσωση η οποία αντιμετωπίζει ένα μεταβαλλόμενο με τον χρόνο σήμα ως το άθροισμα μιας σειράς από συνιστώσες ημιτονοειδείς καμπύλες υπολογίζοντας τα πλάτη και τις συχνότητές τους.


Παρών σε κάθε «κλικ»
Σήμερα ο μετασχηματισμός του Φουριέ επηρεάζει τη ζωή μας με χίλιους τρόπους. Για παράδειγμα, μπορούμε να τον χρησιμοποιήσουμε για να αναλύσουμε το σήμα της δόνησης που παράγεται από έναν σεισμό και να υπολογίσουμε τις συχνότητες στις οποίες η ενέργεια που μεταδίδεται στο έδαφος είναι μεγαλύτερη. Ενα βήμα για την αντισεισμική θωράκιση ενός κτιρίου είναι να εξασφαλίσει κανείς ότι οι προτιμώμενες συχνότητες του κτιρίου διαφέρουν από αυτές της σεισμικής δόνησης.
Αλλες εφαρμογές περιλαμβάνουν την απάλειψη του θορύβου από παλαιές ηχογραφήσεις, την ανακάλυψη της δομής του DNA μέσω της απεικόνισης με ακτίνες Χ, τη βελτίωση της λήψης των ραδιοηλεκτρικών σημάτων και την αποφυγή ανεπιθύμητων κραδασμών στα αυτοκίνητα. Επίσης όλοι μας επωφελούμαστε από αυτήν κάθε φορά που παίρνουμε μια ψηφιακή φωτογραφία.


Ο κ. Ιαν Στιούαρτ είναι καθηγητής Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο του Γουόρικ της Βρετανίας.


Πηγή

Περισσοτερα...

Μουσική διαμάχη για τον «αριθμό π»

Συχνά οι μουσικοί κατηγορούν ο ένας τον άλλο για κλοπή και αντιγραφή του έργου τους, αλλά πόσες φορές αφορμή για τέτοιες διαφωνίες είναι μια μαθηματική σταθερά; Κάτι τέτοιο συνέβη στις ΗΠΑ, με δύο μουσικούς να διεκδικούν την «πατρότητα» της μουσικής «μετάφρασης» του αριθμού π.

Εδώ και χιλιάδες χρόνια, γνωρίζουμε ότι η σχέση μαθηματικών και μουσικής είναι ιδιαίτερα στενή. Ο συνθέτης και μαθηματικός David Cope υποστηρίζει άλλωστε πως «κάθε μαθηματική ακολουθία μπορεί να
μεταφραστεί σε έναν αλγόριθμο, ικανό να παράξει μουσική». Την άποψη αυτή φαίνεται πως συμμερίζεται και ο Michael Blake, μαθηματικός και μουσικός από το Όρεγκον, που πριν ένα χρόνο ανέβασε στο YouTube την σύνθεση «What Pi Sounds Like» («Πώς ηχεί το π»).

Η αριθμητική ακολουθία του π, ευρύτερα γνωστή ανά την υφήλιο με το όνομα «ελληνικό π», ορίζεται ως ο λόγος του μήκους της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του και ισούται περίπου με 3,14. Ο Blake προσπάθησε να αποδώσει μουσικά το π, καταγράφοντας την αριθμητική του ταυτότητα σε νότες. Χρησιμοποίησε πολλά διαφορετικά όργανα για να το επιτύχει, από κιθάρα και αρμόνιο έως μπάντζο και γιουκαλίλι και κατάφερε τελικά να αποτυπώσει τους 31 πρώτους αριθμούς μετά το κόμμα σε συγχορδίες και νότες, με τέμπο 157 χτύπων ανά λεπτό. Το βίντεο με την σύνθεση απέκτησε γρήγορα πολλούς θαυμαστές.



Η αυξανόμενη δημοτικότητα της ανάρτησης προκάλεσε την αντίδραση του Lars Eriksson, μουσικού από την Νεμπράσκα, που ήδη από το 1992 είχε δημιουργήσει μια παρόμοια σύνθεση, το «Pi Symphony». Ζήτησε από το YouTube να αποσύρει το επίμαχο βίντεο και αποφάσισε να προσφύγει στα δικαστήρια, διεκδικώντας την πρωτοτυπία της σύνθεσής του.

Ο δικαστής που ανέλαβε την υπόθεση εξέτασε λεπτομερώς την υπόθεση και κατέληξε σε μια απόφαση που δεν επιδέχεται καμίας αμφισβήτησης. Η ιδέα να «μεταφραστεί» το π σε ήχο δεν ανήκει σε κανέναν, καθώς αποτελεί κομμάτι της παγκόσμιας κληρονομιάς. Επίσης, οι δύο συνθέσεις είναι αρκετά διαφορετικές μεταξύ τους, άρα δεν τίθεται θέμα πνευματικής ιδιοκτησίας.

Μετά από αυτήν την απόφαση, το «What Pi Sounds Like» εμφανίστηκε και πάλι στο YouTube.

Πηγή

Περισσοτερα...

Σας αγχώνουν τα μαθηματικά; Η νευροανάδραση σας δίνει τη λύση!

H νευροανάδραση υπόσχεται να σας απαλλάξει από το άγχος των μαθηματικών υπολογισμών.

Το άγχος των μαθηματικών απασχολεί σχεδόν το μισό μαθητικό πληθυσμό, σε βαθμό που να καθιστά την επιστήμη εχθρό, καθώς η συγκεκριμένη ψυχολογική κατάσταση τους συνοδεύει σε όλη την σχολική τους σταδιοδρομία, σε καθημερινή βάση, εντός και εκτός σχολικού περιβάλλοντος. 

Μπορεί, επίσης, να επηρεάσει τις επιλογές στην επαγγελματική τους σταδιοδρομία, καθώς κάποια στιγμή θα αναγκαστούν -υπό την πίεση του άγχους- να επιλέξουν μία κατεύθυνση που θα αποκλείει τις μαθηματικές επιστήμες.

Ωστόσο, ομάδα επιστημόνων του Εργαστηρίου Ιατρικής Πληροφορικής της Ιατρικής Σχολής του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης, υποστηρίζει ότι το μαθηματικό άγχος μπορεί να αντιμετωπιστεί με την ασφαλή μέθοδο της νευροανάδρασης και ότι τα μαθηματικά μπορούν να μετατραπούν και πάλι σε ένα ευχάριστο και κατανοητό παιχνίδι για όλους.

Μάλιστα, η μέθοδος της νευροανάδρασης μπορεί να βρει εφαρμογή -με εξαιρετικά αποτελέσματα- σε μαθητές με ειδικές δυσκολίες μάθησης και με διάσπαση προσοχής, καθώς επίσης να αντιμετωπίσει άλλες ψυχοσωματικές και ψυχιατρικές ασθένειες, όπως η κατάθλιψη, ο πανικός, οι ψυχώσεις κ.ά. 

Ένας στους δύο μαθητές αντιμετωπίζει πρόβλημα μαθηματικού άγχους

Η επιστημονική κοινότητα υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές διεργασίες του εγκεφάλου είναι έμφυτες στον άνθρωπο και ότι, με τις κατάλληλες οδηγίες, τα παιδιά μπορούν να αποκτήσουν τη βασική μαθηματική γνώση, ενώ με μια πιο προσεγμένη καθοδήγηση θα είναι ικανά να λύνουν όλο και πιο πολύπλοκα μαθηματικά προβλήματα.

Ανασταλτικός παράγοντας της διαδικασίας αυτής είναι το άγχος, δηλαδή το συναίσθημα της υπερέντασης που νιώθουν τα άτομα, όταν έχουν να κάνουν με αριθμούς και μαθηματικά προβλήματα.

Κύρια αιτία του μαθηματικού άγχους είναι η μη σωστή διδασκαλία των μαθηματικών, που οφείλεται κυρίως στην έλλειψη αυτοπεποίθησης των εκπαιδευτικών. Η αιτία αυτή ενισχύεται από δυσάρεστες μαθηματικές εμπειρίες, που οδηγούν τους μαθητές στην αποστήθιση και στην εξάρτηση από συγκεκριμένες μεθοδολογίες. Έτσι, προσπαθούν να απομνημονεύσουν κανόνες και διαδικασίες, χωρίς να καταλαβαίνουν την ουσία όσων κάνουν, και κατά συνέπεια ξεχνούν γρηγορότερα τα μαθηματικά και αγχώνονται όλο και περισσότερο.

Έρευνα του Εργαστηρίου Ιατρικής Πληροφορικής του ΑΠΘ (2011) που έγινε σε μαθητές γυμνασίου (184), με βάση ψυχομετρικό τεστ εννέα απλών ερωτήσεων, έδειξε ότι σχεδόν τα μισά παιδιά (48,91%) αντιμετώπιζαν πρόβλημα μαθηματικού άγχους.

Με τη βοήθεια της τεχνολογίας, το άγχος και οι νοητικές διεργασίες του εγκεφάλου, όπως η συγκέντρωση και η προσωρινή μνήμη -που είναι βασικές για την μαθηματική σκέψη- μπορούν πλέον να μετρηθούν με εγκεφαλογραφήματα, μαγνητοεγκεφαλογραφήματα, μέσω της αγωγιμότητας του δέρματος (ιδρώτας) κ.λπ.

Το πρόβλημα του μαθηματικού άγχους φαίνεται να οφείλεται στο γεγονός ότι στη συγκεκριμένη ψυχολογική κατάσταση, οι μαθητές χρησιμοποιούν ένα μεγάλο κομμάτι της προσωρινής τους μνήμης για την αντιμετώπιση της φοβίας τους απέναντι στα μαθηματικά (μία ανακλαστική αντίδραση), αντί να τη χρησιμοποιούν για να κάνουν τις απαραίτητες συνδέσεις των μαθηματικών θεωριών, κατά τη διάρκεια της παράδοσης του μαθήματος.

«Για να υπερνικήσουμε τους φόβους και τα άγχη μας θα πρέπει να τα βιώνουμε καθημερινά και να μην τα αποφεύγουμε. Με αυτό τον τρόπο απομυθοποιούμε σιγά-σιγά τους στρεσογόνους παράγοντες που ευθύνονται για τις φοβίες μας, αξιολογώντας θετικά τις εμπειρίες που μας προκαλούσαν άγχος, ολοένα και περισσότερο» εξηγεί ο μαθηματικός και υποψήφιος διδάκτορας Ιατρικής Πληροφορικής του ΑΠΘ Μανούσος Κλάδος.

«Αν ενδυναμώσουμε την τρέχουσα μνήμη ενός μαθηματικά αγχωμένου μαθητή, τότε αυτός έχει περισσότερες πιθανότητες να αντεπεξέλθει επιτυχώς σε κάποια μαθηματική πρόκληση-πρόβλημα. Επιπλέον, με τη συνεχή εξάσκηση, η προσωρινή μνήμη θα περάσει στην μακροχρόνια μνήμη, με αποτέλεσμα ο μαθητής να αξιολογήσει θετικά τις μαθηματικές του εμπειρίες και να αποκτήσει και πάλι αυτοπεποίθηση», συμπληρώνει. 

Παιχνίδια – εργαλεία εκγύμνασης των εγκεφαλικών ρυθμών

Προκειμένου να πετύχει την ενδυνάμωση της προσωρινής μνήμης των μαθητών, η ομάδα του Εργαστηρίου Ιατρικής Πληροφορικής του ΑΠΘ χρησιμοποίησε ένα παιχνίδι αγώνων ταχύτητας, που στηρίζεται στην μέθοδο της νευροανάδρασης.

Ωστόσο, υπάρχει πλήθος εφαρμογών σε μια σειρά άλλων θεματικών παιχνιδιών, τα οποία ουσιαστικά παρακολουθούν τις διακυμάνσεις των εγκεφαλικών σημάτων και επιβραβεύουν τους μαθητές κάθε φορά που φτάνουν τον επιθυμητό στόχο.

Συγκεκριμένα, ο μαθητής φοράει ένα καπέλο με δυο αισθητήρες, που λαμβάνουν την εγκεφαλική του δραστηριότητα, ενώ το αυτοκίνητο που ελέγχουν επιταχύνει ή επιβραδύνει ανάλογα με το πόσο κοντά βρίσκεται ο εκπαιδευόμενος στον στόχο του.

Μετά το τέλος του πρώτου γύρου, εμφανίζεται ένα δεύτερο αυτοκίνητο, το οποίο μιμείται την καλύτερη απόδοση του εκπαιδευόμενου, με αποτέλεσμα ο μαθητής να προσπαθεί να γίνει καλύτερος από τον ίδιο του τον εαυτό. Με αυτόν τον τρόπο, ο εκπαιδευόμενος αρχίζει να παρεμβαίνει συνειδητά στη διαδικασία μεταβολής των εγκεφαλικών του ρυθμών, τους οποίους αρχίζει σταδιακά να ελέγχει, ελέγχοντας έτσι τις όψεις της συνειδητότητας που σχετίζονται με αυτούς τους ρυθμούς.

Όπως επισημαίνει η επιστημονική ομάδα, η μέθοδος της νευροανάδρασης είναι απολύτως ασφαλής, καθώς πρόκειται για μια τεχνική εκπαίδευσης του εγκεφάλου με στόχο την καλύτερη λειτουργία του. «Είναι μία μη επεμβατική και αποτελεσματική θεραπεία σε ένα πλήθος ψυχιατρικών ασθενειών, αποτελεί μία τεχνική αυτορύθμισης της συνειδητότητας» επισημαίνει ο επικεφαλής της ομάδας Παναγιώτης Μπαμίδης, εξηγώντας ότι στο εξωτερικό εφαρμόζεται με σημαντικά αποτελέσματα για την αντιμετώπιση ακόμη και ψυχιατρικών ασθενειών.

Ο εγκέφαλος μαθαίνει μέσα από συγκεκριμένες νευροσυνάψεις, οι οποίες τελικά θα τον ακολουθούν σε όλη του τη ζωή. «Μπορούμε να εφαρμόσουμε την γνώση των νευροεπιστημών προς όφελος της εκπαίδευσης. Η νευροανάδραση μπορεί να χρησιμοποιηθεί προς αυτή την κατεύθυνση για να βελτιώσει την σχολική απόδοση ενός μαθητή. Μπορούμε να γυμνάσουμε τους εγκεφαλικούς ρυθμούς ενός μαθητή που σχετίζονται με τη μνήμη, την προσοχή, τη δημιουργικότητα, τη λύση μαθηματικών προβλημάτων κ.ά., με αποτέλεσμα οι μαθητές να έχουν καλύτερη απόδοση τόσο στις απαιτήσεις του σχολείου όσο και στις αυξημένες απαιτήσεις στην περίοδο των εξετάσεων» επισημαίνει ο κ.Κλάδος. 

Πηγή

Περισσοτερα...

Στον λαβύρινθο του απείρου

Η αναζήτηση του «ενδιάμεσου» επιπέδου απειρίας δίνει τροφή για νέες θεωρίες

Η υπόθεση του συνεχούς είναι ένα ερώτημα των Μαθηματικών, ίσως το μεγαλύτερο αυτή την περίοδο για τα Μαθηματικά, και είναι τέτοιο γιατί συγκλίνουσες απόψεις μεγάλων λογικών και μαθηματικών από τον περασμένο αιώνα ως σήμερα το τοποθετούν στη διεπαφή των θεμελίων των Μαθηματικών, της Μαθηματικής Λογικής και της Φιλοσοφίας φθάνοντας (για κάποιους) ως την φυσιολογία του εγκεφάλου και την κβαντική μικρο-δομή του. Από αυτή την άποψη παρά την ενυπάρχουσα δυσκολία εκλαΐκευσης, σε αυτό το επίπεδο, των μαθηματικών ιδεών, έχει ιδιαίτερο ενδιαφέρον ακόμη και για έναν μη μαθηματικό η ιστορική αναγωγή της υπόθεσης του συνεχούς και η σύνδεσή της με τη διαχρονική «ωσμωτική» σχέση των Μαθηματικών με την Αναλυτική Λογική μέσω της οποίας τα Μαθηματικά διαμεσολαβούνται σε τυπικό επίπεδο. Πολύ περισσότερο που ο γρίφος αυτός των θεμελίων των Μαθηματικών είναι απότοκο και συνδέεται στενά με τη λεγόμενη κρίση των θεμελίων στις αρχές του 20ού αιώνα, η οποία ήταν ακριβώς η θεωρητική αμφιβολία για την καλή θεμελίωση των μαθηματικών θεωριών, νοουμένων ως τυπικών-συντακτικών υπερδομών, των οποίων το εννοιολογικό περιεχόμενο πρέπει ωστόσο να αναζητηθεί στην εμπειρική παρατήρηση εντός του κόσμου που μας περιβάλλει.

Υπόθεση του συνεχούς και αξίωμα της επιλογής
Υπό το πρίσμα αυτό, η εξέλιξη των μαθηματικών θεμελίων μετά τη δημοσίευση της Principia Mathematica των Μπέρτραντ Ράσελ και Αλφρεντ Νορθ Γουάιτχεντ, το 1910, συμβαδίζει και με την εξέλιξη της Φιλοσοφίας των Μαθηματικών, η οποία με τη σειρά της αναπτύσσεται σε σχέση ανάδρασης με τα νεότερα φιλοσοφικά ρεύματα της Αναλυτικής Φιλοσοφίας που ευδοκιμεί κυρίως στον αγγλοσαξονικό κόσμο και της (λεγόμενης) Ηπειρωτικής Φιλοσοφίας με τα παρακλάδια της και απώτερο πεδίο αναφοράς την κεντροευρωπαϊκή ιδεαλιστική φιλοσοφία του 18ου-19ου αιώνα.
Κατά το μέτρο λοιπόν που μια μαθηματική θεωρία νοείται ως μια αφηρημένη λογική υπερδομή η οποία ανάγεται στον συνεπή χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων ως τυπικών συμβόλων της θεωρίας μέσα σε ένα πεπερασμένο πλαίσιο διαδικασιών με την προσθήκη ενός αξιώματος ύπαρξης του απείρου, η υπόθεση του συνεχούς έχει αποδειχθεί ότι είναι μαζί με το αξίωμα της επιλογής ανεξάρτητες μαθηματικές προτάσεις, δηλαδή μπορεί να αποδειχθεί η λογική συνέπεια τόσο της κατάφασής τους όσο και της άρνησής τους μέσα στο αξιωματικό σύστημα των Τσερμέλο - Φρένκελ. Το σύστημα αυτό, γνωστό και ως θεωρία συνόλων Τσερμέλο - Φρένκελ, είναι, τουλάχιστον ως σήμερα, η κοινώς αποδεκτή από τη μαθηματική κοινότητα θεμελιακή αξιωματική θεωρία περιγραφής και κατασκευής των μαθηματικών συνόλων.
Σε πολύ αδρές γραμμές, η υπόθεση του συνεχούς, διατυπωμένη εδώ και περίπου 110 χρόνια από τον ιδρυτή της θεωρίας συνόλων γερμανό μαθηματικό Γεργκ Κάντορ, προβλέπει ότι δεν υπάρχει ενδιάμεσο επίπεδο απειρίας ανάμεσα στην αριθμήσιμη απειρία των φυσικών αριθμών (κατά την απαρίθμησή τους) και στη «δευτεροβάθμια» απειρία των πραγματικών αριθμών, αυτή δηλαδή που απεικονίζεται, π.χ., ως μια ευθεία ή ως οποιαδήποτε συνεχής γραμμή του επιπέδου. Το αξίωμα της επιλογής από την άλλη μεριά, αυτονόητο σε μια «αφελή» ανάγνωση, αξιωματικοποιεί τη δυνατότητα μιας μονοσήμαντης κάθε φορά επιλογής ενός στοιχείου μέσα από μια άπειρη συλλογή μη κενών συνόλων, πράγμα καθόλου δεδομένο αν σχεδιάσουμε, για παράδειγμα (όπως είχε πει ο Μπ. Ράσελ), τον προγραμματισμό μιας μηχανής ώστε να επιλέγει πάντα το δεξί παπούτσι μέσα σε έναν ατελείωτο σωρό από ίδια ακριβώς ζευγάρια παπούτσια! Ουσιαστικά το αξίωμα αυτό «εγκαθιδρύει» μια καλώς εννοούμενη μαθηματική τάξη μέσα στην ενεστωτική απειρία.

Το σύμπαν του έσχατου L
Ταυτόχρονα μια σειρά άλλων μαθηματικών εικασιών που, με τον έναν ή τον άλλον τρόπο, αφορούν το μη αριθμήσιμο άπειρο αποδεικνύονται και αυτές ανεξάρτητες των υπολοίπων αξιωμάτων του συστήματος Τσερμέλο - Φρένκελ, ενώ επάγονται ή κάνουν χρήση άμεσα ή έμμεσα της υπόθεσης του συνεχούς και του αξιώματος της επιλογής. Είναι χαρακτηριστικό ότι εντελώς πρόσφατα ο μαθηματικός Χιου Γούντιν του Πανεπιστημίου Μπέρκλεϊ των ΗΠΑ, ο οποίος ισχυρίζεται ότι η υπόθεση του συνεχούς μπορεί να αποφασισθεί μέσω της κατασκευής ενός έσχατου  L-σύμπαντος, αποδέχεται in rem εικασίες ενεστωτικού απείρου, δηλαδή το αξίωμα επιλογής, είτε προσφεύγει στην εφαρμογή αξιωμάτων μεγάλων πληθικών αριθμών, τα οποία όμως υπερβαίνουν τις αποδεικτικές δυνατότητες της «καθεστηκυίας» θεωρίας συνόλων Τσερμέλο - Φρένκελ (βλ. «ΒΗΜΑScience», 13.11.2011 & εκδόσεις Infinity - New Research Frontiers, Cambridge University Press, 2011).
Με πιο απλά λόγια, στον βαθμό που εννοούμε ως ενεστωτικό άπειρο (actual infinite) την αποδοχή ενός νοητικού απείρου «ενώπιόν μας» την παρούσα στιγμή που το εννοούμε και εντός του οποίου μπορούμε να προβάλλουμε διακριτές μαθηματικές πράξεις δυνητικά επ’ άπειρον χρόνο, ο μαθηματικός χειρισμός της υπόθεσης του συνεχούς εμπεριέχει ήδη μέσω της επίκλησης μιας εικασίας ενεστωτικού απείρου την πρόσληψη ενός επιπέδου μη αριθμήσιμου απείρου, περί του οποίου ωστόσο πρέπει να αποφανθεί η υπόθεση του συνεχούς. Προφανής κυκλικότητα των εννοιών!
Σε κάθε περίπτωση, στον βαθμό που τα Μαθηματικά έχουν ένα εννοιολογικό περιεχόμενο που ανάγεται στις εμπειρικές παρατηρήσεις εντός του φυσικού κόσμου και στον επαγόμενο ψυχολογιστικό αναγωγισμό των παρατηρήσεων αυτών, π.χ. στην ικανότητα ομαδοποίησης ή συσχέτισης ομοειδών παρατηρήσεων, στην ικανότητα αφαίρεσης του αμετάβλητου μέσα από τη μεταβλητότητα κ.λπ., η αντιμετώπιση του μαθηματικού απείρου φαίνεται να υπερβαίνει τη στενή τοποθέτησή του μέσα στα πλαίσια μιας τυπικής μαθηματικής θεωρίας. Πολύ περισσότερο που εναλλακτικές μαθηματικές θεωρίες, όπως αυτή της λεγόμενης διαισθητικής σχολής του Αμστερνταμ στο πρώτο μισό του 20ού αιώνα (με κύριο εκπρόσωπο τον Γιαν Μπράουερ), καθώς και νεότερες, όπως η εναλλακτική θεωρία συνόλων της Σχολής της Πράγας, ανάγουν την πρόσληψη των μαθηματικών αντικειμένων σε μια ειδικού τύπου σχέση που έχουμε εμείς οι άνθρωποι, ως ενσυνείδητες ένυλες οντότητες, με τα πράγματα εντός του κόσμου που μας περιβάλλει και με τον οποίο έχουμε μια αλληλεπιδραστική, τοπικού αλλά διαρκώς επεκτάσιμου χαρακτήρα σχέση. Από εδώ προκύπτει μια νέα φαινομενολογικού τύπου θεώρηση των Μαθηματικών που ανάγεται σε έναν βαθμό στη φαινομενολογική φιλοσοφία του γερμανού φιλοσόφου Εντμουντ Χούσερλ.

Δύο τύποι μαθηματικού απείρου
Προκύπτει λοιπόν ένα νέο πεδίο εποπτείας των μαθηματικών ιδεών, γόνιμο και εξελισσόμενο, του οποίου τη σημασία είχε αναγνωρίσει πρωτίστως ο ίδιος ο μεγάλος μάγιστρος των Μαθηματικών του 20ού αιώνα Κουρτ Γκέντελ, και για το οποίο τα μαθηματικά αντικείμενα συνδιαμορφώνονται, ως αποβλεπτικά και συνάμα χρονικά αντικείμενα, εντός της συνείδησης του παρατηρητή. Επομένως το ερώτημα του μαθηματικού συνεχούς τίθεται σε επάλληλη βάση με το ερώτημα της αρχής του φαινομενολογικού συνεχούς, αναγόμενου τελικά στην «απαρχή» της ροής της συνείδησης του καθενός από εμάς. Υπό την προσέγγιση αυτή, δεν μπορούν παρά να νοούνται θεμελιωδώς δύο τύποι μαθηματικού απείρου, το αριθμήσιμα άπειρο των φυσικών και ακεραίων αριθμών, το οποίο είναι άμεσα αναγνωρίσιμο από τη φυσική μας διαίσθηση κατά το πεπερασμένο αλλά «μετατοπίσιμο» μέρος του , και το μη αριθμήσιμα άπειρο των πραγματικών αριθμών, το οποίο συνδέεται σε ένα βαθύτερο επίπεδο φαινομενολογικής ανάλυσης με μια συνεχή αντικειμενική ενότητα συγκροτούμενη σε ένα πρωτογενές επίπεδο εντός της χρονικής συνείδησης του παρατηρητή.
Εικάζεται όθεν ότι οποιαδήποτε απόφανση  της υπόθεσης του συνεχούς μέσω αναγωγής της σε «ανώτερης» τάξης μαθηματικές υπερδομές δεν μπορεί παρά να παράγει εννοιολογικές κυκλικότητες κατά την τυπική κατασκευή των υπερδομών αυτών ή κατά την απόδειξη της συνέπειάς τους, και τούτο γιατί η έννοια του συνεχούς πιθανότατα υπεκφεύγει της αποκλειστικής περιγραφής της μέσω μιας τυπικής θεωρίας όπως είναι τα Μαθηματικά.
Στην άποψη αυτή ήταν πολύ κοντά ο ίδιος ο Γκέντελ το 1947, με το περίφημο άρθρο του «Ποιο είναι το πρόβλημα του συνεχούς του Κάντορ;» (What is Cantor’s Continuum Problem?), όταν διετύπωσε την άποψη ότι η υπόθεση του συνεχούς, εφόσον η υποκείμενη θεωρία (Θεωρία Τσερμέλο - Φρένκελ) είναι συνεπής, πρέπει να είναι είτε θετικά αποφασίσιμη (το είχε αποδείξει ο ίδιος το 1938) είτε αρνητικά αποφασίσιμη (δηλαδή η άρνησή της να είναι συνεπής με τα υπόλοιπα αξιώματα της Θεωρίας Τσερμέλο - Φρένκελ). Αν συμβαίνουν και τα δύο, αυτό θα σήμαινε ότι η υπόθεση του συνεχούς δεν θα έπρεπε να είναι αυστηρά αναλυτικού-μαθηματικού χαρακτήρα.
Οπως αποδείχθηκε δεκαέξι χρόνια αργότερα (1963) από τον Πολ Κοέν, η υπόθεση του συνεχούς είναι και αρνητικά αποφασίσιμη, εντείνοντας την υποψία ότι το μαθηματικό συνεχές σε θεμελιώδες επίπεδο δεν είναι απλά μια αναλυτικού χαρακτήρα έννοια, άσχετα αν η τέτοια αντιμετώπισή του μας έδωσε ένα σωρό θαυμάσια πράγματα για τη θετική επιστήμη μέσω του απειροστικού και του ολοκληρωτικού λογισμού των Ι. Νιούτον και Γκ. Λάιμπνιτς τους προηγούμενους αιώνες. Ο Πολ Κοέν εξάλλου στον επίλογο της μονογραφίας του Η Θεωρία Συνόλων και η Υπόθεση του Συνεχούς (1966) είχε διατυπώσει την άποψη ότι η μη αποφασισιμότητα της υπόθεσης του συνεχούς δεν μπορεί να αρθεί αν αποφύγουμε την αναγωγή σε ένα αριθμητικό σύστημα υψηλότερης τάξης από τους φυσικούς αριθμούς, όπως είναι οι πραγματικοί αριθμοί. Ανάλογο πρόβλημα μη αποφασισιμότητας του συνεχούς μπορεί να διατυπωθεί κάνοντας χρήση μόνο της έννοιας των πραγματικών αριθμών.
Ακόμη και η απόδειξη του, καταλυτικού για τη Μαθηματική Λογική και Φιλοσοφία, θεωρήματος της μη πληρότητας του Γκέντελ μπορεί να συνδεθεί, έστω εμμέσως, με τη δυσεξιχνίαστη έννοια του ενεστωτικού απείρου σε αντιπαραβολή με τις διακριτές και περατού χαρακτήρα μαθηματικές πράξεις που αφορούν τις αποκαλούμενες αναδρομικά αριθμήσιμες διαδικασίες.
Ενας ερεβώδης λαβύρινθος είναι αυτή τη στιγμή η «καταβύθιση» στα θεμέλια των Μαθηματικών, κινητοποιεί ωστόσο την αέναη ανθρώπινη απορία για την υποκείμενη αλήθεια, αλλά υπογραμμίζει και τις δυνατότητες μιας ολιστικού τύπου έρευνας των θεμελιακών ερωτημάτων των μαθηματικών θεωριών αυτών καθ’ εαυτών.

Ο κ. Στάθης Λειβαδάς είναι δρ Φιλοσοφίας Μαθηματικών του Πανεπιστημίου Πατρών.

Πηγη

Περισσοτερα...

Μαθηματικός υποστηρίζει ότι έλυσε τη μεγαλύτερη σπαζοκεφαλιά του Sudoku

Πόσες θέσεις στον πίνακα του Sudoku πρέπει να είναι συμπληρωμένες εξαρχής προκειμένου να έχει το παιχνίδι μία και μοναδική λύση; Το ερώτημα άφηνε άγρυπνους τους μαθηματικούς εδώ και χρόνια. Τώρα, όμως, ένας Ιρλανδός ερευνητής υποστηρίζει ότι έλυσε το γρίφο βάζοντας έναν υπερυπολογιστή να τρέχει για μέρες έναν ειδικό αλγόριθμο: η απάντηση που βρήκε είναι ...

16.

Στο παζλ Sudoku, πoυ έγινε διάσημο πρώτα στην Ιαπωνία και αργότερα σε όλο τον κόσμο, ο παίκτης καλείται να συμπληρώσει έναν πίνακα διαστάσεων 9 επί εννέα με αριθμούς από το 1 έως το 9. Ο πίνακας πρέπει όμως να συμπληρωθεί έτσι ώστε κανένας αριθμός να μην επαναλαμβάνεται στην ίδια γραμμή, στην ίδια στήλη, ή στον ίδιο υποπίνακα 3 επί 3.

Για να ξεκινήσει το παιχνίδι, ορισμένες θέσεις στον πίνακα πρέπει να είναι συμπληρωμένες εκ των προτέρων. Και όσο περισσότερες είναι οι συμπληρωμένες θέσεις, τόσο πιο εύκολο γίνεται το παιχνίδι. Τα παζλ Sudoku που δημοσιεύουν οι εφημερίδες δίνουν συνήθως περίπου 25 γνωστούς αριθμούς.

Επειδή κανείς μέχρι σήμερα δεν είχε καταφέρει να επινοήσει ένα παιχνίδι με 16 γνωστούς αριθμούς, το οποίο να έχει μία και μοναδική λύση, οι μαθηματικοί είχαν διατυπώσει την εικασία ότι αυτός είναι ο ελάχιστος δυνατός αριθμός των γνωστών θέσεων στον πίνακα.

Ένας τρόπος να επιβεβαιώσει κανείς αυτή την εικασία είναι να λύσει όλα τα πιθανά παιχνίδια με 16 συμπληρωμένες θέσεις. Αυτό, όμως, θα χρειαζόταν μια αιωνιότητα.

Ο Γκάρι ΜακΓκουάιρ του Πανεπιστημιακού Κολεγίου του Δουβλίνου απλοποίησε το πρόβλημα προσδιορίζοντας σε πρώτη φάση τις διατάξεις των αριθμών πάνω στον συμπληρωμένο πίνακα οι οποίες μπορούν να αντικατασταθούν η μία από την άλλη και οδηγούν έτσι σε πολλαπλές λύσεις.

Στην επόμενη φάση, ο ΜακΓκουάιρ έπρεπε να δείξει ότι δεν υπάρχει παζλ των 16 γνωστών θέσεων που να μπορεί να αποκλείσει όλες τις παραπάνω διατάξεις. Χρειάστηκαν μέρες υπολογισμών σε ένα κέντρο υπερυπολογιστών στο Δουβλίνο, τελικά όμως ο μαθηματικός απέδειξε την παλιά εικασία.

Ή τουλάχιστον έτσι υποστηρίζει, αφού οι συνάδελφοί του μαθηματικοί θα χρειαστούν μήνες ή και χρόνια για να τον επιβεβαιώσουν ή να τον διαψεύσουν.

Όπως πάντως αναφέρει ο δικτυακός τόπος του Nature, οι μαθηματικοί που ενημερώθηκαν για τη λύση του ΜακΓκουάιρ σε συνέδριο που πραγματοποιήθηκε στη Βοστόνη στις 7 Ιανουαρίου υποψιάζονται ότι η λύση είναι σωστή και αποτελεί σημαντική πρόοδο στα μαθηματικά του Sudoku. 

Πηγή

Περισσοτερα...

Τα μαθηματικά του τρόμου

Ενα σύνολο αλγορίθμων και μοντέλων μπορεί να ξεσκεπάσει όσους κινούνται στη σκιά

Πώς τόσο λίγοι σπέρνουν τον τρόμο και τον όλεθρο σε τόσο πολλούς; Στο φόντο οι φωτογραφίες των θυμάτων της 11.9.2001 και στο κέντρο ο «νόμος της ισχύος» των τρομοκρατικών επιθέσεων

Λένε ότι η Ιστορία δεν θα ξεχώριζε ποτέ από τη μυθοπλασία αν ο Θουκυδίδης δεν είχε προβεί στην ανάλυση των Πελοποννησιακών Πολέμων, όπως και ότι η κοινωνιολογία δεν θα είχε γίνει ποτέ επιστήμη αν ο Ιmile Durkheim δεν είχε μετρήσει τη συχνότητα αυτοκτονιών μεταξύ των καθολικών και των Διαμαρτυρομένων (Suicide - 1897). Ωστόσο εκείνο που δεν φαντάζονταν ποτέ οι ερευνητές και της μιας και της άλλης είναι ότι στις απαρχές του 21ου αιώνα η επιστήμη τους θα γινόταν... ερωμένη των μαθηματικών. Και με ποια αφορμή για πρόσχημα; Την αντιμετώπιση της διεθνούς τρομοκρατίας!


Στατιστικές του θανάτου
Ο όρος τρομοκρατία ερμηνεύεται ως «η συστηματική άσκηση τρόμου ως μέσο πίεσης» και γεννήθηκε στα χρόνια της κυριαρχίας του Ροβεσπιέρου (1793-1974) για να περιγράψει την άσκηση τρόμου από το κράτος προς τους πολίτες. Στην εποχή όμως των «δίδυμων πύργων» και του «άξονα του Κακού», οι ρόλοι έχουν - τύποις - ανατραπεί. Ετσι οι Δυτικοί ξέχασαν το γεφύρωμα του «ψηφιακού χάσματος» με τους φτωχούς του πλανήτη και βάλθηκαν να διευρύνουν το «θρησκευτικό χάσμα» με τον Τρίτο Κόσμο ή το «οικονομικό χάσμα» με όσους δεν έχουν να πληρώσουν τα χρέη τους στις τράπεζες. Οπότε τρομοκρατία σημαίνει πλέον για τους Δυτικούς τη συστηματική άσκηση τρόμου από τους παρίες της κεφαλαιοκρατίας προς τα κράτη που τη διακονούν.
Ολα αυτά θα παρέμεναν ενασχόληση των κοινωνιολόγων και των ιστορικών αν το σοκ της πτώσης των δίδυμων πύργων (11.9.2001) δεν έκανε τις διωκτικές αρχές των Δυτικών να ψάχνουν απεγνωσμένα για «τρόπους έγκαιρης χαρτογράφησης των κινήσεων των τρομοκρατών». Τότε κάποιος θυμήθηκε την εργασία ενός πρώην τραυματιοφορέα του Α' Παγκοσμίου Πολέμου, ο οποίος συνέβη να είναι και φυσικομαθηματικός, του Βρετανού Λιούις Ρίτσαρντσον (Lewis Fry Richardson). Υπό τον τίτλο «Στατιστικές θανατηφόρων διενέξεων» (Statistics of Deadly Quarrels), ο Ρίτσαρντσον είχε συλλέξει και ταξινομήσει τα δεδομένα των περισσότερων πολέμων από το 1820 ως το 1950 και τα είχε αναλύσει σαν νέος Θουκυδίδης.

Ο χάρτης των τρομοκρατικών οργανώσεων διεθνώς, όπως τον συνέταξαν οι καθηγητές Victor Asal και Κarl Rethemeyer του Πανεπιστημίου Albany των ΗΠΑ 

Θηλαστικά και... τρομοκράτες!
Ο άνθρωπος που θυμήθηκε τα όσα είχε γράψει ο Ρίτσαρντσον ήταν και αυτός φυσικομαθηματικός: ο Αμερικανός Ααρον Κλόζετ (Aaron Clauset). Στην αρχή των σπουδών του είχε προσπαθήσει να πάρει και πτυχίο κοινωνιολογίας, αλλά την εγκατέλειψε όταν διαπίστωσε πως «ακόμη και η μηχανική του Νεύτωνα είναι πιο προχωρημένη και από την καλύτερη κοινωνική θεωρία που έχουμε τώρα» - όπως δήλωσε σε συνέντευξή του. Αντ' αυτής γοητεύθηκε από τις δυνατότητες μαθηματικής προσομοίωσης που του έδιναν οι υπολογιστές. Για παράδειγμα, δόμησε ένα μαθηματικό μοντέλο που του έδινε την κατανομή παγκοσμίως των 4.000 ειδών θηλαστικών. Οταν συζήτησε την πιθανότητα μοντελοποίησης της διεθνούς τρομοκρατίας με τον πληροφορικάριο φίλο του Maxwell Young - το 2003 -, συνειδητοποίησε ότι θα μπορούσαν να εφαρμόσουν τις ίδιες μαθηματικές τεχνικές που είχε χρησιμοποιήσει για τα θηλαστικά και... στους τρομοκράτες. Το μόνο που του έλειπε ήταν μια βάση δεδομένων αντίστοιχη εκείνης του Ρίτσαρντσον, για τις τρομοκρατικές επιθέσεις αυτή τη φορά.


Ο «νόμος της ισχύος»
Με την αρωγή ενός τρίτου που εντάχθηκε στην παρέα, του πολιτικού επιστήμονα στο βρετανικό Πανεπιστήμιο του Εσεξ Kristian Gleditsch, εντόπισαν αργότερα το ζητούμενο στο ίδρυμα της Οκλαχόμα, Memorial Institute for the Prevention of Terrorism: Είχαν καταγράψει 36.018 τρομοκρατικές ενέργειες σε 187 χώρες μεταξύ των ετών 1968-2008. Η ομάδα επέλεξε 13.000 από αυτές, οι οποίες είχαν θανατηφόρα αποτελέσματα, και εξέφρασε σε γράφημα την αντιπαράθεση της συχνότητάς τους με τη σφοδρότητά τους. Αυτό που προέκυψε ήταν αναπάντεχο: Οι πιο συχνές επιθέσεις που εκπορεύονταν από την ίδια οργάνωση είχαν λιγότερα θύματα, ενώ οι πιο αραιές κατέληξαν σε εκατόμβες. Η καμπύλη του γραφήματος αυτού ήταν περίπου σαν «L», που στα μαθηματικά λέγεται «ανεξαρτησία κλίμακας» (scale invariance). Ωστόσο η καμπύλη αυτής της μορφής είναι ακριβώς εκείνη που εκφράζει τον λεγόμενο «νόμο της ισχύος». Με δυο λόγια, η ως τότε αντίληψη ότι υπήρχε «μικρή» και «μεγάλη» τρομοκρατία, χωρίς σχέση μεταξύ τους, δεν έστεκε.


Πρέπει να τις... σκοτώνεις «μικρές»
Οπως εξήγησε ο Κλόζετ στις αντιτρομοκρατικές υπηρεσίες, η εφαρμογή του νόμου της ισχύος στα τρομοκρατικά δρώμενα ενέχει την εφαρμογή στις οργανώσεις αυτές της δαρβινικής εξέλιξης: «Από την ανάλυση των δεδομένων προκύπτει ότι όσο μεγαλύτερη είναι μια τρομοκρατική οργάνωση τόσο συχνότερα επιτίθεται. Οι περισσότερες ομάδες αρχίζουν τη δράση τους όταν είναι μικρές, κερδίζουν φήμη και προσηλύτους με κάθε τους χτύπημα και μεγαλώνουν. Αφ' ης στιγμής φθάσουν σε κάποιο μέγεθος, η διάρκειά τους είναι εγγυημένη. Το να εξοντώσεις πια κάποιο σημαίνον στέλεχός τους - χτυπώντας τον με τα πυρά τηλεκατευθυνόμενου αεροπλάνου, για παράδειγμα - δεν θα έχει εφεξής τη διαλυτική επίδραση που θα είχε όσο ήταν μικρές σε μέγεθος» είπε. Και το έκανε πιο σαφές: «Οπως ακριβώς συμβαίνει με τις μικρές επιχειρήσεις που μόλις βγαίνουν στην αγορά, οι τρομοκρατικές ομάδες απαρτίζονται από εξαιρετικά φιλόδοξα άτομα που θέλουν να βγάλουν ένα προϊόν (μια τρομοκρατική επίθεση). Και οι μεν και οι δε έχουν το άγχος να αναπτυχθούν, ειδεμή θα σβήσουν. Και όσο η επιχείρηση ή η ομάδα είναι μικρή σε μέγεθος, το να της φύγει ένα κορυφαίο στέλεχος μπορεί να επιφέρει τη διάλυση. Οταν όμως έχουν γίνει μεγάλες, με πολλά στελέχη, μια τέτοια απώλεια δεν είναι πια κρίσιμη».


Μίσος με τη βοήθεια του... Θεού
Ενα άλλο σημαντικό στοιχείο που προέκυψε από την έρευνά του είναι η διαφοροποίηση της τωρινής τρομοκρατίας από τις προγενέστερες. Συγκεκριμένα το τωρινό «τέταρτο κύμα τρομοκρατών», που διακατέχεται από θρησκευτικό φανατισμό, παρουσιάζει την εξής ειδοποιό διαφορά από τους αναρχικούς του 19ου αιώνα, τους αντιαποικιοκράτες εξεγερμένους των αρχών του 20ού ή τους επαναστάτες της εποχής του Ψυχρού Πολέμου: «Οι θρησκευτικές ομάδες επιταχύνουν τα χτυπήματά τους πολύ ταχύτερα από τις πολιτικές ομάδες. Ο λόγος είναι ότι μεγεθύνονται πολύ ταχύτερα, μάλλον επειδή η δεξαμενή υποψήφιων μελών είναι πολύ μεγαλύτερη και τους είναι πολύ πιο εύκολος ο προσηλυτισμός τους» λέει.


Η επομένη 11η Σεπτεμβρίου...
Από τότε που πρωτοασχολήθηκαν με το θέμα ο Κλόζετ και οι συνεργάτες του έχουν προβεί σε δύο επιστημονικές δημοσιεύσεις, αλλά είναι πλέον πολύ προσεκτικοί ως προς τη δυνατότητα του μοντέλου τους να προβλέπει τρομοκρατικά χτυπήματα. Η επιφυλακτικότητά τους δεν έχει να κάνει τόσο με τη στιβαρότητα των μαθηματικών τους όσο με τον αντίκτυπο τέτοιων ανακοινώσεων. Το 2005, όταν η πρώτη εργασία τους όδευε ακόμη προς δημοσίευση, οι εφημερίδες την έκαναν πρωτοσέλιδο, με τίτλους όπως: «Φυσικοί προβλέπουν η επόμενη 11η Σεπτεμβρίου να συμβεί σε επτά χρόνια». Επεξηγώντας την τότε πρόβλεψη, ο Κλόζετ είπε: «Αυτό που είχαμε πει ήταν πως αν το μέλλον έχει ακριβώς τις παραμέτρους του παρελθόντος και εφόσον οι παραδοχές του μοντέλου μας είναι σωστές τότε αυτό είναι το αναμενόμενο. Αλλά δεν έχω εμπιστοσύνη στο ότι αυτή θα είναι η ακριβής χρονολογία». Σημειώνουμε εδώ ότι αυτές τις «διορθωτικές δηλώσεις» ο Κλόζετ τις έκανε αφού προσελήφθη στο στενά συνεργαζόμενο με το Πεντάγωνο Ινστιτούτο Ερευνών της Σάντα Φε (στο Πανεπιστήμιο του Νέου Μεξικού). Και βεβαίως τα επτά χρόνια της πρόβλεψης συμπληρώνονται του χρόνου.


Χάος, fractals και «μετάβαση φάσης»
Το εγχείρημα του Κλόζετ και της παρέας του μπορεί να ξεκίνησε ως ερασιτεχνικό και να κατέληξε άκρως επαγγελματικό (σήμερα είναι σύμβουλος τουλάχιστον έξι αντιτρομοκρατικών φορέων στις ΗΠΑ) αλλά επ' ουδενί λόγω δεν σημαίνει ότι είναι ο μόνος που στήνει μαθηματικά μοντέλα πρόγνωσης τρομοκρατικών φαινομένων. Για παράδειγμα, σε συναφές με το θέμα συνέδριο που έγινε τον Αύγουστο 2009 στο Ινστιτούτο της Σάντα Φε παρόμοια μαθηματικά μοντέλα παρουσίασαν οι Peter Dodds και Chris Danforth από το Πανεπιστήμιο του Βερμόντ. Αλλά και εκτός αυτών, εντυπωσιακά προγράμματα πρόγνωσης τρομοκρατικής δράσης έχουν να επιδείξουν ερευνητές όπως ο καθηγητής Μαθηματικών του ΜΙΤ Jonathan Farley, ο Neil Johnson στο Πανεπιστήμιο του Μαϊάμι (πρώην καθηγητής στην Οξφόρδη), ο Ρώσος Vladimir Lefebvre στο Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας Irvine ή ο πακιστανός Nasrullah Memon στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Δανίας (ως πέρυσι στο Hellenic American University της Αθήνας). Ωστόσο τι είναι αυτό που συνδέει όλους αυτούς και από πού αντλούν τα εργαλεία τους;
Ο κοινός τόπος εντοπίζεται στην κληρονομιά που άφησε πίσω του ο αυστριακός φυσικός του 19ου αιώνα Ludwig Boltzmann. Ηταν αυτός που έθεσε τα θεμέλια της «στατιστικής μηχανικής», για να μελετήσει μαθηματικά τη συμπεριφορά μεγάλων συνόλων σωματιδίων. Κατ' ουσίαν ήταν μια παραλλαγή της θεωρίας των πιθανοτήτων. Ωστόσο γύρω στο 1970 νέα θεωρητικά εργαλεία ήρθαν να ενισχύσουν αυτή την κληρονομιά: η θεωρία του χάους, η θεωρία των φράκταλ και η θεωρία της μετάβασης φάσης. Η πρώτη εξετάζει το πώς προκύπτει πολύπλοκη και απρόβλεπτη συμπεριφορά από μικρές αλλαγές στις αρχικές συνθήκες, η δεύτερη μας δίνει τις συνθήκες διαμόρφωσης ατέρμονων επαναλήψεων της ίδιας δομής σε διάφορες κλίμακες και η τρίτη μελετά πότε ένα σύστημα φθάνει σε «ακραία κατάσταση» και αλλάζει φάση (π.χ. από στερεό γίνεται ρευστό).


Τα «σωματίδια» των κοινωνικών δικτύων
Η εφαρμογή των μαθηματικών πλαισίων που αναπτύχθηκαν βάσει αυτών των θεωριών σε πολύπλοκα συστήματα - από τα σωματίδια της ύλης ως τα βιολογικά και τα κοινωνικά συστήματα - αποδίδει τώρα τους θεαματικούς καρπούς που βλέπουμε. Και αν για την ανόργανη ύλη ή για τα ζώα και τα φυτά είχαμε αρκετές βάσεις δεδομένων, το έλλειμμα των κοινωνιολόγων σε παγκόσμια δεδομένα για την ανθρώπινη συμπεριφορά ήρθε να το καλύψει το Διαδίκτυο. Τώρα, μέσω της ανάλυσης των διασυνδέσεων που χτίζουμε στα λεγόμενα κοινωνικά δίκτυα (Social Networks), οι ερευνητές - είτε των πανεπιστημίων είτε της αντιτρομοκρατικής υπηρεσίας - μπορούν στο άψε-σβήσε να βγάλουν την πρόγνωση αν η «παρεούλα μας» θα παραμείνει κύμβαλο αλαλάζον ή θα μετεξελιχθεί σε τρομοκρατικό πυρήνα.
Είναι όμως επιστημονικά πλήρες ένα μαθηματικό μοντέλο που ανιχνεύει συσχετισμούς και «αλλαγές φάσης» χωρίς να εξετάζει αφετηρίες, αίτια και κίνητρα στη λήψη των ανθρώπινων αποφάσεων; Ως προς το ερώτημα αυτό, ενδιαφέρουσα ήταν η σχετική απάντηση που έδωσε σε συνέντευξή του ο προαναφερθείς Ααρον Κλόζετ: «Οταν το καλοσκέφτεσαι, σου φαίνεται παράξενο. Σε αυτές τις οργανώσεις υπάρχουν σκεπτόμενα άτομα, με οικογένειες, στόχους, ιδανικά και όλα τα συναφή. Κι όμως εγώ τα αντιμετωπίζω λίγο-πολύ σαν να είναι στοιχειώδη σωματίδια της ύλης. Ωστόσο τα... ίχνη που αφήνει η δράση τους μιλάνε από μόνα τους».


Η Αραβική άνοιξη είχε προβλεφθεί Δεν είναι όμως μόνον αυτών τα ίχνη που μιλάνε. Ενας συνοδοιπόρος του Κλόζετ στη μαθηματική ανάλυση των ανθρώπινων δραστηριοτήτων είναι και ο Yaneer Bar-Yam, πρόεδρος του New England Complex Systems Institute της Βοστώνης. Ο ερευνητής αυτός και η ομάδα του είχαν αναπτύξει ένα επίσης προγνωσιακό μοντέλο, βασισμένο στη θεωρία της μετάβασης φάσης, το οποίο του έδωσε εγκαίρως στοιχεία για εξέγερση στις αραβικές χώρες. Με τα πορίσματά τους υπό μάλης, κατέθεσαν στις 13 Δεκεμβρίου 2010 αναφορά προς τη Γερουσία των ΗΠΑ, όπου την προειδοποιούσαν ότι η Βόρεια Αφρική ήταν κοινωνικά έτοιμη να εκραγεί. Λίγες ημέρες μετά εκδηλώθηκε η λαϊκή εξέγερση στην Τυνησία, για να ακολουθήσουν εκείνες της Αιγύπτου και της Λιβύης. Η ποιοτική διαφορά όμως της πρόγνωσής τους από τα αμιγώς «αντιτρομοκρατικά μοντέλα» ήταν ότι εντόπιζαν τα αίτια: δήλωναν ξεκάθαρα στην αναφορά τους ότι αν η αύξηση των τιμών τροφίμων παγκοσμίως συνεχιστεί, τότε μεταξύ του Ιουλίου 2012 και του Αυγούστου 2013 η κοινωνική εξέγερση θα γίνει παγκόσμια!


«Χρηματιστηριακή τρομοκρατία», η νέα απειλή
Και, προκειμένου να εμπεδώσουμε καλύτερα το μήνυμα πολιτικοί και απλοί πολίτες, οι ερευνητές αυτοί «ξαναχτύπησαν» στις 21 Σεπτεμβρίου 2011, με νέο ανακοινωθέν (βλ. http: //necsi. edu/research/social/food_prices. pdf), όπου αποκαλύπτουν τη δράση της «χρηματιστηριακής τρομοκρατίας»: Ούτε λίγο ούτε πολύ, εντοπίζουν τη ρίζα των δεινών που ζούμε και θα ζήσουμε στον νόμο χρηματιστηριακής απορρύθμισης (γνωστόν αγγλιστί ως Commodity Futures Modernization Act of 2000 - CFMA) που εισήγαγε στις 21 Δεκεμβρίου 2000 ο τότε πρόεδρος των ΗΠΑ Μπιλ Κλίντον. Στο συμπέρασμα της εργασίας τους οι συγγραφείς τονίζουν: «Αυτή η ανάλυση συνδέει το σκάσιμο της φούσκας στην αγορά ακινήτων των ΗΠΑ και την οικονομική κρίση του 2007-2008 με την αύξηση των τιμών τροφίμων παγκοσμίως». Τα κεφάλαια που εγκατέλειψαν την αγορά ακινήτων πήγαν να φουσκώσουν τις τιμές τροφίμων. Ετσι φτάσαμε τον Σεπτέμβριο του 2010 να έχουμε 140 εκατομμύρια τόνους δημητριακών καταχωνιασμένους σε αποθήκες παγκοσμίως - ποσότητα που θα αρκούσε να θρέψει 440 εκατομμύρια ανθρώπους - να παίζουν κρυφτούλι στο πλαίσιο χρηματιστηριακών παιχνιδιών, ενώ ο Τρίτος Κόσμος λιμοκτονούσε.
Τώρα... πόση έννοια έχει πια η μαθηματική ανάλυση των κινήσεων όσων θέλουν «να καταλάβουν τη Wall Street»; Θα πει άραγε το πρόγραμμα στον χειριστή του αν το επόμενο τρομοκρατικό χτύπημα «ψήνεται» από το πλήθος ή από τον εργοδότη του;

Πηγή

Περισσοτερα...