Στη χώρα των αριθμών η άρνηση έχει τη δική της αξία-και γεννά τα δικά της ερωτήματα. Μακριά από θέσφατα, η λειτουργικότητα των αρνητικών αριθμών ορίζεται με φαντασία και ελευθερία, απαραίτητη και για τους μικρούς μαθητές του Γυμνασίου που έρχονται για πρώτη φορά σε επαφή μαζί τους
Ανοίγουμε τη βρύση και τρέχει το νερό. Πατάμε το κουμπί και το φως της λάμπας στη στιγμή διαλύει το σκοτάδι. Γράφει ο δάσκαλος στον πίνακα: 4χ+20= 0 (μια εξίσωση πρώτου βαθμού δηλαδή) και οι περισσότεροι 13χρονοι μαθητές στην τάξη σηκώνουν το χέρι γιατί ξέρουν πώς λύνεται. Αυτή την ίδια εξίσωση ο Διόφαντος, τον 3ο αι. μ.Χ., την αναφέρει στο έργο του «Αριθμητικά» ως κάτι παράλογο. Η πρόοδος δημιουργεί αυτονόητα και τα αυτονόητα μερικές φορές ισοπεδώνουν τις απορίες αυτών που μαθαίνουν πράγματα για πρώτη φορά. Καλός δάσκαλος είναι αυτός που σε ξυπνάει. Σε πόσες τάξεις αυτή τη χρονιά θα σκεφθούν, και ακόμη χειρότερα θα τολμήσουν, να πουν οι μαθητές του Γυμνασίου ότι οι «αρνητικοί αριθμοί» είναι γι΄ αυτούς ένα μυστήριο, παρ΄ όλες τις φιλότιμες προσπάθειες του εκπαιδευτικού που τους διδάσκει την Αλγεβρα; Σε πόσες τάξεις αυτοί που διδάσκουν θα πουν στα παιδιά ότι θα έπρεπε να παραξενεύονται πολύ και με τους αρνητικούς και με τους μιγαδικούς αριθμούς; Παρουσιάζοντας την ευθεία των πραγματικών αριθμών με τους αρνητικούς αριστερά, το μηδέν στη μέση και τους θετικούς δεξιά απλώνουμε μια γέφυρα που ενώνει τον δικό μας με πολλούς αιώνες πριν. Τότε που ο αρνητικός αριθμός έφτασε να θεωρείται από εκκλησιαστικούς κύκλους ως και διαβολική επινόηση.
Η παράξενη συμπεριφορά
Και αν ακόμη οι μαθητές μας στην τάξη φαίνεται να δέχονται με απόλυτη ψυχραιμία την ύπαρξη και τους κανόνες των αρνητικών αριθμών, θα ήταν χρήσιμο να μην τους αφήσουμε σε αυτή τη μακαριότητα. Η ιστορία των Μαθηματικών και της Φυσικής απέδειξε ότι η αμφισβήτηση γεννάει κατανόηση, αλλά και νέες ιδέες. Να τους κάνουμε λοιπόν να προσέξουν ότι παρ΄ όλο που η ευθεία των πραγματικών αριθμών επάγει μια αίσθηση τέλειας συμμετρίας, οι ορισμένες από εμάς πράξεις επάνω σε αυτούς σε κάποιες περιπτώσεις δεν δίνουν εξίσου συμμετρικά αποτελέσματα.
Η ύψωση στο τετράγωνο για παράδειγμα. Εκεί δηλαδή όπου κάθε αριθμός δεξιά από το μηδέν, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει πάλι ένα θετικό αριθμό που βρίσκεται κάπου επίσης δεξιά από το μηδέν, επάνω στην ευθεία. Αυτό φαίνεται φυσιολογικό. Οταν όμως και κάθε (αρνητικός) αριθμός αριστερά από το μηδέν, αφού πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει αποτέλεσμα θετικό, δηλαδή πάλι δεξιά από το μηδέν, αυτό είναι φυσιολογικό; Το ίδιο συμβαίνει όταν υψώνουμε σε αρνητική δύναμη και τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς.
Σε πλήρες αδιέξοδο έφταναν οι άνθρωποι λίγους αιώνες πριν και όταν προσπαθούσαν να βρουν την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, αφού τους έβγαινε κάτι που δεν ήταν ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Πεταγόταν δηλαδή έξω από την ευθεία εντελώς, ενώ η τετραγωνική ρίζα των θετικών δίνει αποτέλεσμα αναμενόμενο. Επάνω στην ευθεία. Ενώ τελικά το περπάτημα προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά φαίνεται να είναι δυο εντελώς ισοδύναμες κινήσεις, το να διατρέχεις την ευθεία των πραγματικών αριθμών αριστερά ή δεξιά από το μηδέν δεν είναι το ίδιο. Και αυτά πρέπει να τα λέμε στους μικρούς μαθητές. Βέβαια, όταν ανοίξει το κουτί με τις παιδικές απορίες είναι δύσκολο να το κλείσεις, αλλά αυτό κανονικά θα έπρεπε να είναι η χαρά όποιου διδάσκει. Οσο κι αν έτσι έρχεται πιο κοντά η στιγμή της (προσωρινής)αμφισβήτησης για ό,τι σε διδάσκουν και μιας δύσκολης να απαντηθεί ερώτησης, όπως το «γιατί πλην επί πλην κάνει συν», δηλαδή ο πολλαπλασιασμός δύο αρνητικών αριθμών να δίνει αποτέλεσμα έναν αριθμό που είναι θετικός.
Η ιεροτελεστία των πράξεων
Τα Μαθηματικά είναι το σημείο όπου ασκείται, στη διάρκεια της σχολικής ζωής, η μεγαλύτερη πίεση για πειθαρχία. Και σε μεγάλο βαθμό οι μαθητές πείθονται κατ΄ ανάγκην. Να ακολουθούν δηλαδή με την καρτερία σκλάβου τους κανόνες, με προσήλωση και δυστυχώς χωρίς αμφισβήτηση, γιατί έχουν αποδείξεις ότι η αποτυχία θα έλθει άμεσα και μερικές φορές με οδυνηρές συνέπειες, έχοντας τη μορφή ενός λάθος αποτελέσματος. Η πρόσθεση δύο αρνητικών αριθμών είναι πολύ εύκολη και αν την ψάξεις λίγο, εύκολα πείθεσαι ότι (μπορεί και να) είναι και έτσι: (-4)+(-5)=-9. Υποθέτεις, για παράδειγμα, ότι αυτό ισοδυναμεί με το να κάνεις πρώτα τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, αφού ορίσαμε τους αρνητικούς αριθμούς αριστερά από το μηδέν, και στη συνέχεια να κάνεις από το σημείο όπου έφθασες άλλα πέντε προς την ίδια κατεύθυνση (επάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, εννοείται). Συνολικά 9 βήματα αριστερά. Τι γίνεται όμως με τον πολλαπλασιασμό (-4)x(-5); Τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, πολλαπλασιασμένα με πέντε βήματα προς τα αριστερά; Και αυτό να δίνει είκοσι βήματα προς τα δεξιά; Στα παιδιά, και σε οποιονδήποτε έχει ρωτήσει και πολύ δικαιολογημένα: «Πες μου πώς γίνεται;» θα μπορούσαμε, βάζοντας στην άκρη αξιωματικούς ορισμούς και μηχανιστικές αποδείξεις, να εξηγήσουμε ότι αυτό το πλην μπροστά από έναν αριθμό μπορεί απλά να το ερμηνεύσουμε και ως εντολή να αλλάξουμε κατεύθυνση. Αν δηλαδή είμαστε επάνω στην ευθεία,4 σημαίνει να πάμε τέσσερα βήματα προς τα πίσω. Πολλαπλασιασμένο αυτό επί-5 σημαίνει αυτή την ποσότητα βημάτων να την επαναλάβουμε πέντε φορές σε αντίθετη κατεύθυνση. Πόσα βήματα έχουμε κάνει προς τα δεξιά; +20. Ελπίζω να υπάρχουν αντιρρήσεις και γι΄ αυτήν ακόμη την απόδειξη.
Αν δεν υπάρχουν, τις παρουσιάζω εγώ. Εδώ ο ένας αριθμός συμβιβάζεται με την έννοια των βημάτων, αλλά ο άλλος αριθμός αλλάζει φύση και μας δείχνει απλά επανάληψη, πόσες φορές. Αυτό δεν το είχαμε στην πρόσθεση όπου και οι δύο αριθμοί δείχνουν αριθμό βημάτων. Πρόκειται βέβαια για τις δυσκολίες που συναντάς προσπαθώντας να εξηγήσεις μακριά από τους αυστηρούς ορισμούς τους τα πράγματα. Μπλεχτήκαμε όμως οικειοθελώς με αυτό, θέλοντας να δείξουμε μέσα από πόσες δυσκολίες και αντιφάσεις οι άνθρωποι κατάφεραν να δημιουργήσουν εργαλεία που τους εξυπηρετούν, αν και τους δημιουργούν προβλήματα (η Κβαντομηχανική είναι ένα άλλο τεράστιο παράδειγμα). Κάποτε, μεγάλοι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν καν την ύπαρξη αρνητικών αριθμών, διότι δεν χωρούσε στο μυαλό τους ότι ένας αριθμός μπορούσε να είναι μικρότερος από το... τίποτα.
Και οι αρχαίοι Ελληνες προχώρησαν τόσο πολύ στη Γεωμετρία διότι έβλεπαν εκεί τα πράγματα να είναι καθαρά και οι συλλογισμοί τους να έχουν άμεση σχέση με την πραγματικότητα. Οι ευθείες, τα επίπεδα, οι σχέσεις μεταξύ τους, φαίνονταν τόσο πραγματικά. Στην Αλγεβρα όμως έχουμε προχωρήσει πλέον. Οχι μόνον οι αριθμοί είναι σύμβολα μακριά από τα μήλα και τα πορτοκάλια, ώστε να μπορούμε να μη μας ενοχλεί η αφαίρεση του-7 από το +5, αλλά έχουν προκύψει και νέες Αλγεβρες, που θα τις δούμε κάποια άλλη στιγμή, όπου οι Μαθηματικοί δεν διστάζουν να πουν ότι-5 επί-4 μπορεί να δίνει και-20: το-5 να είναι ίσο με +5 και το-5 να είναι μεγαλύτερο από το 0(!) (αρκεί να ξαναπιάσουμε το παράδειγμα με τα βήματα στην ευθεία των αριθμών. Ενας που είναι στο 0 δεν κάνει βήμα. Ενας άλλος ξεκινάει από εκεί και κάνει +5 βήματα προς τα δεξιά και ένας άλλος-5 προς τα αριστερά. Δεν μπορούμε λοιπόν να δεχτούμε ότι αυτός με τα-5 βήματα έκανε περισσότερα από εκείνον που έμεινε ακίνητος;). Για να καταλήξουμε ότι όλα είναι θέμα ορισμού και ότι τα Μαθηματικά δεν είναι πειθαρχία και δάκρυα, αλλά φαντασία και ελευθερία.
Πηγή
Και αν ακόμη οι μαθητές μας στην τάξη φαίνεται να δέχονται με απόλυτη ψυχραιμία την ύπαρξη και τους κανόνες των αρνητικών αριθμών, θα ήταν χρήσιμο να μην τους αφήσουμε σε αυτή τη μακαριότητα. Η ιστορία των Μαθηματικών και της Φυσικής απέδειξε ότι η αμφισβήτηση γεννάει κατανόηση, αλλά και νέες ιδέες. Να τους κάνουμε λοιπόν να προσέξουν ότι παρ΄ όλο που η ευθεία των πραγματικών αριθμών επάγει μια αίσθηση τέλειας συμμετρίας, οι ορισμένες από εμάς πράξεις επάνω σε αυτούς σε κάποιες περιπτώσεις δεν δίνουν εξίσου συμμετρικά αποτελέσματα.
Η ύψωση στο τετράγωνο για παράδειγμα. Εκεί δηλαδή όπου κάθε αριθμός δεξιά από το μηδέν, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει πάλι ένα θετικό αριθμό που βρίσκεται κάπου επίσης δεξιά από το μηδέν, επάνω στην ευθεία. Αυτό φαίνεται φυσιολογικό. Οταν όμως και κάθε (αρνητικός) αριθμός αριστερά από το μηδέν, αφού πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του δίνει αποτέλεσμα θετικό, δηλαδή πάλι δεξιά από το μηδέν, αυτό είναι φυσιολογικό; Το ίδιο συμβαίνει όταν υψώνουμε σε αρνητική δύναμη και τους θετικούς και τους αρνητικούς αριθμούς.
Σε πλήρες αδιέξοδο έφταναν οι άνθρωποι λίγους αιώνες πριν και όταν προσπαθούσαν να βρουν την τετραγωνική ρίζα ενός αρνητικού αριθμού, αφού τους έβγαινε κάτι που δεν ήταν ούτε θετικός ούτε αρνητικός. Πεταγόταν δηλαδή έξω από την ευθεία εντελώς, ενώ η τετραγωνική ρίζα των θετικών δίνει αποτέλεσμα αναμενόμενο. Επάνω στην ευθεία. Ενώ τελικά το περπάτημα προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά φαίνεται να είναι δυο εντελώς ισοδύναμες κινήσεις, το να διατρέχεις την ευθεία των πραγματικών αριθμών αριστερά ή δεξιά από το μηδέν δεν είναι το ίδιο. Και αυτά πρέπει να τα λέμε στους μικρούς μαθητές. Βέβαια, όταν ανοίξει το κουτί με τις παιδικές απορίες είναι δύσκολο να το κλείσεις, αλλά αυτό κανονικά θα έπρεπε να είναι η χαρά όποιου διδάσκει. Οσο κι αν έτσι έρχεται πιο κοντά η στιγμή της (προσωρινής)αμφισβήτησης για ό,τι σε διδάσκουν και μιας δύσκολης να απαντηθεί ερώτησης, όπως το «γιατί πλην επί πλην κάνει συν», δηλαδή ο πολλαπλασιασμός δύο αρνητικών αριθμών να δίνει αποτέλεσμα έναν αριθμό που είναι θετικός.
Η ιεροτελεστία των πράξεων
Τα Μαθηματικά είναι το σημείο όπου ασκείται, στη διάρκεια της σχολικής ζωής, η μεγαλύτερη πίεση για πειθαρχία. Και σε μεγάλο βαθμό οι μαθητές πείθονται κατ΄ ανάγκην. Να ακολουθούν δηλαδή με την καρτερία σκλάβου τους κανόνες, με προσήλωση και δυστυχώς χωρίς αμφισβήτηση, γιατί έχουν αποδείξεις ότι η αποτυχία θα έλθει άμεσα και μερικές φορές με οδυνηρές συνέπειες, έχοντας τη μορφή ενός λάθος αποτελέσματος. Η πρόσθεση δύο αρνητικών αριθμών είναι πολύ εύκολη και αν την ψάξεις λίγο, εύκολα πείθεσαι ότι (μπορεί και να) είναι και έτσι: (-4)+(-5)=-9. Υποθέτεις, για παράδειγμα, ότι αυτό ισοδυναμεί με το να κάνεις πρώτα τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, αφού ορίσαμε τους αρνητικούς αριθμούς αριστερά από το μηδέν, και στη συνέχεια να κάνεις από το σημείο όπου έφθασες άλλα πέντε προς την ίδια κατεύθυνση (επάνω στην ευθεία των πραγματικών αριθμών, εννοείται). Συνολικά 9 βήματα αριστερά. Τι γίνεται όμως με τον πολλαπλασιασμό (-4)x(-5); Τέσσερα βήματα προς τα αριστερά, πολλαπλασιασμένα με πέντε βήματα προς τα αριστερά; Και αυτό να δίνει είκοσι βήματα προς τα δεξιά; Στα παιδιά, και σε οποιονδήποτε έχει ρωτήσει και πολύ δικαιολογημένα: «Πες μου πώς γίνεται;» θα μπορούσαμε, βάζοντας στην άκρη αξιωματικούς ορισμούς και μηχανιστικές αποδείξεις, να εξηγήσουμε ότι αυτό το πλην μπροστά από έναν αριθμό μπορεί απλά να το ερμηνεύσουμε και ως εντολή να αλλάξουμε κατεύθυνση. Αν δηλαδή είμαστε επάνω στην ευθεία,4 σημαίνει να πάμε τέσσερα βήματα προς τα πίσω. Πολλαπλασιασμένο αυτό επί-5 σημαίνει αυτή την ποσότητα βημάτων να την επαναλάβουμε πέντε φορές σε αντίθετη κατεύθυνση. Πόσα βήματα έχουμε κάνει προς τα δεξιά; +20. Ελπίζω να υπάρχουν αντιρρήσεις και γι΄ αυτήν ακόμη την απόδειξη.
Αν δεν υπάρχουν, τις παρουσιάζω εγώ. Εδώ ο ένας αριθμός συμβιβάζεται με την έννοια των βημάτων, αλλά ο άλλος αριθμός αλλάζει φύση και μας δείχνει απλά επανάληψη, πόσες φορές. Αυτό δεν το είχαμε στην πρόσθεση όπου και οι δύο αριθμοί δείχνουν αριθμό βημάτων. Πρόκειται βέβαια για τις δυσκολίες που συναντάς προσπαθώντας να εξηγήσεις μακριά από τους αυστηρούς ορισμούς τους τα πράγματα. Μπλεχτήκαμε όμως οικειοθελώς με αυτό, θέλοντας να δείξουμε μέσα από πόσες δυσκολίες και αντιφάσεις οι άνθρωποι κατάφεραν να δημιουργήσουν εργαλεία που τους εξυπηρετούν, αν και τους δημιουργούν προβλήματα (η Κβαντομηχανική είναι ένα άλλο τεράστιο παράδειγμα). Κάποτε, μεγάλοι μαθηματικοί δεν μπορούσαν να δεχτούν καν την ύπαρξη αρνητικών αριθμών, διότι δεν χωρούσε στο μυαλό τους ότι ένας αριθμός μπορούσε να είναι μικρότερος από το... τίποτα.
Και οι αρχαίοι Ελληνες προχώρησαν τόσο πολύ στη Γεωμετρία διότι έβλεπαν εκεί τα πράγματα να είναι καθαρά και οι συλλογισμοί τους να έχουν άμεση σχέση με την πραγματικότητα. Οι ευθείες, τα επίπεδα, οι σχέσεις μεταξύ τους, φαίνονταν τόσο πραγματικά. Στην Αλγεβρα όμως έχουμε προχωρήσει πλέον. Οχι μόνον οι αριθμοί είναι σύμβολα μακριά από τα μήλα και τα πορτοκάλια, ώστε να μπορούμε να μη μας ενοχλεί η αφαίρεση του-7 από το +5, αλλά έχουν προκύψει και νέες Αλγεβρες, που θα τις δούμε κάποια άλλη στιγμή, όπου οι Μαθηματικοί δεν διστάζουν να πουν ότι-5 επί-4 μπορεί να δίνει και-20: το-5 να είναι ίσο με +5 και το-5 να είναι μεγαλύτερο από το 0(!) (αρκεί να ξαναπιάσουμε το παράδειγμα με τα βήματα στην ευθεία των αριθμών. Ενας που είναι στο 0 δεν κάνει βήμα. Ενας άλλος ξεκινάει από εκεί και κάνει +5 βήματα προς τα δεξιά και ένας άλλος-5 προς τα αριστερά. Δεν μπορούμε λοιπόν να δεχτούμε ότι αυτός με τα-5 βήματα έκανε περισσότερα από εκείνον που έμεινε ακίνητος;). Για να καταλήξουμε ότι όλα είναι θέμα ορισμού και ότι τα Μαθηματικά δεν είναι πειθαρχία και δάκρυα, αλλά φαντασία και ελευθερία.
Πηγή
Posted in: επιστήμη, Μαθηματικά
Αποστολή με μήνυμα ηλεκτρονικού ταχυδρομείου
BlogThis!
Κοινοποίηση στο X
Μοιραστείτε το στο Facebook
0 σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου